Kursen omfattar Adams: Kapitel 10.1-10.6, 11.1, 11.3, 12, 13.1-13.3, 13.7, 14.1-14.6, 15, 16.1-16.5.
Innehåll:
I kursen behandlas många av de grundläggande begreppen inom matematisk flervariabelanalys, bland annat gränsvärde, partiell derivata, gradient och riktningsderivata för funktioner från Rn till R samt funktionalmatris och funktionaldeterminant för funktioner från Rn till Rm. Viktiga egenskaper hos funktioner, som kontinuitet och differentierbarhet, utnyttjas för undersökning av ytor och kurvor, bestämning av extremvärden och optimering på kompakta områden och optimering med bivillkor samt för approximation av funktioner med Taylorutveckling. En liten introduktion till området partiella differentialekvationer ges, genom att d'Alemberts lösning till Laplace ekvation behandlas.
TMA044 Flervariabelanalys
Kurs-PM
På denna sida finns programmet för kursen, räkneövningar, och datorlaborationer. Övriga uppgifter, såsom t.ex. kursmål, lärare, kurslitteratur och examination, finns i ett separat kurs-PM.
Kursen kommer att ges på campus enligt schemat. De videoföreläsningar som Daniel Persson spelat in kommer att läggas ut efter hand och är ett bra komplement, men de bör inte ses som en ersättning för live-föreläsningarna. Jag rekommenderar att man i möjligaste mån är med på plats.
Länkar till videoföreläsningarna kommer finnas tillgängliga på sidan:
Jimmys lösningar till uppgifterna som diskuteras på räkneövningarna finns via denna länk:
Information om SLU-passen finns på denna sida:
Program
Kursens schema finns i TimeEdit.
Inga ändringar har gjorts i kursens innehåll eller lärandemål jämfört med förra året.
Kurslitteratur är Adams: Calculus - a complete course (9th ed). Se kurs-PM för mer info.
Vidare behandlas dubbel- och trippelintegraler samt generaliserade dubbelintegraler. Beräkning av integraler med hjälp av variabelsubstitution, både linjär substitution och polära eller sfäriska koordinater. Tillämpning av integraler för volymberäkningar, bestämning av masscentrum och beräkning av arean av buktig yta.
Begreppen kurvintegral för funktioner från Rn till R, kurvtangentintegral för funktioner från Rn till Rn, ytintegral för funktioner från R3 till R samt normalytintegral för funktioner från R3 till R3 definieras och studeras, i synnerhet hur dessa integraler hänger samman med divergens och rotation för vektorfält (funktioner från R3 till R3). I detta sammanhang är Greens formel samt Gauss och Stokes satser väsentliga. Kopplingen mellan integraler och divergens och rotation leder i sin tur till grundläggande ekvationer inom bland annat strömningsmekanik och elektromagnetism.
| Vecka | Avsnitt | Innehåll |
|---|---|---|
| Vecka 1 | 10.1, 10.2, 10.5 11.1, 11.3 12.1, 12.210.1 |
Euklidisk geometri (repetition), andragradskurvor. Vektorvärda funktioner av en variabel och parametrisering av kurvor. Derivering och tillämpning av derivata (hastighet, fart, acceleration, kurvlängd). Reellvärda funktioner av flera variabler, graf, nivåkurvor. Gränsvärden och kontinuitet. Topologiska begrepp. |
| Vecka 2 | 12.3 - 12.4 12.5 - 12.6 12.7 |
Partiell derivata. Kedjeregeln, linearisering, differentierbarhet, differentialer. Gradient och riktningsderivata. |
| Vecka 3 |
12.9 13.1 - 13.2 13.3 |
Taylorserier Kritiska punkter, extremvärden på kompakta mängder. Lagranges multiplikatormetod. |
| Vecka 4 | 14.1-14.2 14.3-14.4 |
Dubbelintegraler, beräkning med upprepad integrering. Generaliserade integraler, medelvärdessats för dubbelintegraler. Variabelsubstitution, speciellt polära koordinater. |
| Vecka 5 | 14.5, 10.6, 14.6 15.1-15.2 |
Trippelintegraler. Variabelsubstitution, speciellt cylindriska och sfäriska koordinater. Vektorfält, konservativa vektorfält och potentialer. |
| Vecka 6 | 15.3 - 15.4 15.5 - 15.6 |
Kurvintegraler, konservationslager. Ytintegraler, Flödesintegraler. |
| Vecka 7 | 16.1 - 16.2 16.3 16.4 - 16.5 |
Gradient, divergens, rotation. Greens sats i planet. Gauss divergens sats i två och tre dimensioner, Stokes sats. |
| Vecka 8 | Repetition. |
Rekommenderade övningsuppgifter
Uppgiftsnumren nedan refererar (om inget annat sägs) till övningsuppgifter ur kursboken Calculus, a complete course, 9th edition.
Instuderingsuppgifterna och träningsuppgifterna är till sin karaktär och svårighetsgrad sådana som alla bör kunna för att bli godkänd på kursen. Instuderingsuppgifterna testar (på ett mer direkt sätt) om du förstått grundläggande begrepp och lösningsmetoder medan träningsuppgifterna kan vara mer sammansatta och ibland kräva att man kombinerar olika metoder och begrepp. Båda typerna skall dock behärskas för godkänt.
|
Avsnitt |
Godkäntnivå |
Överbetygsnivå |
||
|
|
Instuderingsuppgifter |
Träningsuppgifter |
|
|
|
|
|
|||
|
10.1 |
3,5,udda 11-21,33-39 |
29,31,32 |
27 |
|
|
10.5 |
1,3,5,7,11,13,15 |
17,19 |
|
|
|
11.1 |
1,2,3,7 |
13 |
15,17,21,22 |
|
|
11.3 |
1,3,7,13,14 |
17 |
5,19 |
|
|
12.1 |
3,4,7,13,15,17,19,21,37,38 |
29-32 |
33,35 |
|
|
12.2 |
1,5 |
16 |
3,4,7,11,13,15,17 |
|
|
12.3 |
3,5,17,19,27 |
23,31 |
36,37,38 |
|
|
|
|
|||
|
12.4 |
5,7 |
11,18 |
15,16 |
|
|
12.5 |
1,3,7,11,15 |
17,19,31 |
21,24,33 |
|
|
12.6 |
5,7,19 |
11,17,18 |
21,25 |
|
|
12.7 |
3,7,11 |
17,19,21a-d |
20,21e,27,29 |
|
|
12.8 |
|
|
3,15,16 |
|
|
12.9 |
1,5,7 (grad 2 räcker) |
|
13 |
|
|
13.1 |
3,5 |
7,24 |
17,27,28 |
|
|
|
|
|||
|
13.2 |
1,7 |
3,5 |
11 |
|
|
13.3 |
1,2,3,9 |
5 |
13,22,23,27 |
|
|
13.7 |
Uppgifterna på motsvarande avsnitt i Matlab komp. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
14.1 |
13 |
15, 17 |
|
|
|
14.2 |
3, 5, 19 |
9, 13 |
15, 25, 27, 30 |
|
|
14.3 |
3 |
7, 9 |
17, 21 |
|
|
14.4 |
3, 9, 11 |
15, 21, 23, 32, 35b |
25, 27, 33, 36 |
|
|
14.5 |
1, 5 |
9, 14, 16 |
7, 11, 27 |
|
| 10.6 | 1-14 | |||
|
14.6 |
1, 3 |
13, 15, 16 |
5, 14.4.29 |
|
|
|
|
|||
|
15.1 |
3, 6 |
|
||
|
15.2 |
1, 3, 4, 5 |
|
9 |
|
|
15.3 |
4, 5, 9 |
11 |
|
|
|
15.4 |
1, 3, 4, 5, 14 |
7, 9, 15, 17 |
21, 22, 23 |
|
|
15.5 |
|
3, 17, 20, 23 |
4, 7, 9, 13, 15 |
|
|
15.6 |
1, 5, 9 |
11 |
2, 15, 17 |
|
|
|
|
|||
|
16.1 |
3, 6, 7 |
|
13 |
|
|
16.2 |
|
|
5, 7 |
|
|
16.3 |
1, 3, 5 |
|
7 |
|
|
16.4 |
1, 3 |
5, 7 |
9, 11, 15, 17 |
|
|
16.5 |
|
|
1, 3 |
|
Datorlaborationer
Under kursen kommer vi ha sex labtillfällen då studenterna själva jobbar med att lösa olika problem med hjälp av Matlab. Under datorövningarna ska kursdeltagaren jobba med materialet som länkas nedan. Det förutsätts också att kursdeltagarna själva jobbar med materialet utanför schemalagd undervisningstid och för att få störst utbyte bör arbetet med de olika avsnitten göras i samband med att motsvarande område behandlas på föreläsningar och övningar.
För att bli godkänd på datorövningsmomentet krävs att du vid skärmen redovisat för handledaren att du slutfört och förstått alla 6 uppgifterna i länken nedan. Mer information om detta finns under fliken Examination här på kurshemsidan. Avsikten med Datorövningarna är att de inte skall vara så betungande men väl så lärorika.
De sex matlabuppgifterna som gäller i kursen finner ni under följande länk:
Matlab för E2 Flervariabelanalys
Förtydligande information kring labbarna:
- Labb 2, uppgift 3 är vagt formulerad, det är inte uppenbart vad man faktiskt ombes göra. När ni redovisar labben så vill vi labbhandledare kunna utvärdera linjariseringen L(x,y) i en punkt (x,y) som vi har valt, och därför vill vi att ni skriver ner linjariseringen i Matlab som en funktion L = @(x,y) ... (För den som väljer att vektorisera hela koden blir motsvarande uttryck L = @(x) ... där x är tänkt att vara en vektor med två element.)
- Labb 4 är tung, men ni behöver inte känna er stressade om denna tar mycket tid. Labb 5 & 6 brukar nämligen gå snabbare.
- Labb 4, uppgift 4: För er som inte lyckas använda fsolve finns tre alternativ: Antingen installera Optimization Toolbox (länk till hjälp), eller kör koden i webbläsaren via Matlab Online, eller para ihop er med någon som redan har Optimization Toolbox installerat. Kom ihåg att ni har tillgång till en full Matlab-licens via Chalmers, dvs. ni har rätt till både Optimization Toolbox såväl som Matlab Online. Om ni inte lyckas lösa problemet, kontakta Jimmy och hoppa över denna uppgift tills vidare. OBS att fsolve även används på minst en till uppgift på en senare labb, så det är bra om ni får den att fungera.
- Labb 5, uppgift 4: Matlab-funktionen integral2 är enklast att använda om ni sätter ett specifikt värde på parametern a, till exempel a =1. Med det sagt så bör koden vara strukturerad så att man enkelt kan ändra värdet på a, till exempel kanske vi ber er att utvärdera integralen även för a = 10.
- Ni kan se era avklarade labbar under fliken Omdömen här på Canvas. Om ni ser att någon av era redovisade labbar inte är inlagd i Canvas, kontakta labbhandledaren som ni redovisade den aktuella labben för. Ibland tar det någon dag innan vi hinner lägga in ett nytt resultat, men vi försöker lägga in resultaten snabbt.
- Vi rekommenderar er starkt att redovisa labbar i takt med att ni färdigställer dem. Det brukar alltid vara ett gäng personer som vill redovisa samtliga labbar under kursens allra sista labbtillfälle, vilket tar otroligt mycket tid och gör ingen glad.
Om ni har några kommentarer/frågor kring labbarna så kan ni kontakta Jimmy på adressen jimmyar@chalmers.se.
Referenslitteratur för Matlab:
- Material utvecklat av MV som ger en kortfattad introduktion till Matlab
- Programmering med Matlab, Katarina Blom. Ger en introduktion till Matlab och lär ut grunderna i programmering med Matlab. Rekommenderas varmt för dig som är nybörjare både vad gäller programmering och Matlab.
- Learning MATLAB, Tobin A. Driscoll. Ger en kortfattad introduktion till Matlab till den som redan kan programmera. Finns som e-bok på Chalmers bibliotek.
- Physical Modeling in MATLAB 3/E, Allen B. Downey
Boken är gratis att ladda ner från nätet. Boken ger en introduktion för dig som inte programmerat förut. Den täcker grundläggande MATLAB-programmering med fokus på modellering och simulation av fysikaliska system.
Kurssammanfattning:
| Datum | Information | Sista inlämningsdatum |
|---|---|---|