Man svarar på frågorna i följande formulär på Google Forms: https://forms.gle/Gr7aNfNTgNYnvj8k8

När du svarat på en fråga så klickar du på "Skicka". För att svara på nästa fråga klickar du på länken "Skicka ett annat svar".

Fråga 1

Lambda-funktioner

För att beräkna tredjeroten ur ett tal n så ska man lösa ekvationen f(x)=x³-n=0. Ni ska göra detta genom att använda fixpunktsalgoritmen genom följande omskrivning på fixpunktsform: x=g(x) där g(x)=x-(1/3x²)f(x).

Ni ska använda följande funktion för att köra fixpunktsalgoritmen på g:

def fixpunkt(g, x0, tol = 1e-10):
    y = x0 # Startvärde
    x = y + 2 * tol # Ser till så att |x-y| > tol så att den körs minst 1 gång
    while abs(x-y) > tol:
        x = y # Sätt x till senast beräknade värde
        y = g(x)
    return y

Definiera f(x) som en lambda-funktion: f = lambda x : ....
Definiera g(x) som en lambda-funktion: g = lambda x : ...
Testkör med n = 9, 10 och 100 och jämför med vad den inbyggda funktionen ger (n**(1/3).

Fråga 2

Lösa ekvationer

Ni ska hitta alla lösningar till $LaTeX: f(x)=\sqrt x-3 \cos(x)=0$ . För att göra detta ska ni använda funktionen root_scalar.

Definiera f som en lambda-funktion.
Plotta f(x) på lämpligt intervall så att intervallet innehåller alla rötter.
Ta fram alla lösningar genom att anropa root_scalar med lämpliga parametrar. Ni får själva välja om ni använder bisektionsalgoritmen eller Newtons metod.

Fråga 3

Beräkna integraler

Analysens fundamentalsats ("blå boken" sidan 25) säger att under lämpliga förutsättningar så gäller att om man sätter

$LaTeX: F(x)=\int_a^xf(t)dt$

så är F en primitiv funktion till f. Funktionen f(t)=sin(t)/t har ingen elementär primitiv funktion men vi ska nu använda formeln ovan och funktionen quad i scipy.integrate för att plotta en primitiv funktion till f på intervallet 0 till 100.

Definiera f som en lambda-funktion.
Skapa en lista med 1000 jämnt fördelade "x-värden" från 0 till 100. (Dessa ska stoppas in som variabeln x i integralen.)
För vart och ett av dessa 1000 x-värden beräkna integralen med a=-1 med quad och lägg dessa i en lista. (Observera att quad returnerar ett par där det första talet är värdet på integralen). Denna lista kommer då att innehålla F(x) för alla värden x i listan med 1000 x-värden.
Plotta F(x) på intervallet 0 till 100 med de listor av värden ni räknat fram.
Om ni vill och hinner kan ni normalisera så att F(0)=0. (Det är inte svårt.)

Observera att om man ändrar a så ändras värdet av integralen med en konstant så att oavsett vilket värde på a man väljer så kommer det att bli en primitiv funktion.