28/8	Beteckningar och språk. Matematikens uppbyggnad: primitiva begrepp och axiom, exempel.
30/8	Konsistenta teorier. Modeller. Kleins modell och Poincarés modell i halvplanet. Den Cartesiska modellen för euklidisk geometri. Sfärisk geometri. Talsystemen. De naturliga talen: Peanos axiomatik. Induktionsaxiomet. Exempel: summan av de n första naturliga talen (bevis med induktion alternativt härledning av formeln).
31/8	Ind1 - induktionsbevis och härledning. Aritmetiska och geometriska talföljder/summor. Modell för heltalen, addition, talet 0. Modell för de rationella talen. Sats: Det finns inget rationellt tal vars kvadrat är 2. Önskelista för de reella talen (med Bolzanos sats). Idé om Dedekind snitt. Modell för de komplexa talen, definition av addition och multiplikation. Talet i.
1/9	Addition och multiplikation i modellen för rationella tal, talet 1. Ind3. Funktioner. Injektiva, surjektiva och bijektiva funktioner. Exempel. Invers funktion; 1:86a, 1:87f.
4/9	"Minus ggr minus ger plus". Funktioner: begränsade/obegränsade, monotona, strängt monotona. Symmetrier: jämna/udda, periodiska funktioner. Funktionsgrafer. Koppling mellan en funktions egenskaper och dess graf. Graf till invers funktion. Elementära funktioner - lista. Potensfunktioner, exponentialfunktioner och logaritmer.
6/9	Den inversa funktionens egenskaper "ärvs", exempel med exp och ln. De trigonometriska funktionerna, definitioner, definitionsmängder och värdemängder. Avgränsningar som ger bijektioner. Arcusfunktionerna. Arc1a. Bernoullis olikhet, induktionsbevis.
7/9	Exempel på icke-elementära funktioner. Heavisides funktion och signumfunktionen. Absolutbelopp - definition och geometrisk tolkning. Triangelolikheten. Polynom. Gradtal och nollställen. Algebrans fundamentalsats (formulering). Faktorsatsen för polynom. Komplex faktorisering av polynom.
8/9	Icke-reella nollställen till reella polynom förekommer i komplexkonjugerade par. Reell faktorisering av reella polynom. Rationella funktioner. Ind3: härledning. Teleskoperande summor. Partialbråksuppdelning, enkla exempel. Eventuella rationella nollställen till polynom med heltalskoefficienter.
11/9	Arc2c. Ändliga och oändliga mängder. Kardinalitet. Uppräkneliga mängder (alef 0). Mängden av alla heltal är uppräknelig. Mängden av alla rationella tal är uppräknelig. Mängden av alla reella tal är överuppräknelig. Cantors diagonalprocess.
13/9	"Hilbert's Hotel". Pascals triangel. Binomialkoefficienterna - definition och egenskaper. Kombinatorisk tolkning. Newtons binomialsats (kombinatoriskt bevis). Antal delmängder i en mängd. Obestämbara gränsvärden (de sju fallen).
14/9	Ind4. Obestämbara gränsvärden. Jämförelse mellan exponentialfunktioner och potenser. Jämförelse mellan logaritmer och potenser. Jämförelse mellan sin x och x i 0.
15/9	Kap. 2: 36h, 3c, 8hi, 9ab, 11gh. Definition av gränsvärde för talföljder. Sats: Om en följd är växande och uppåtbegränsad, så har den ett gränsvärde (endast formulering). Sats: Följden (1+1/n)^n, n naturliga tal, är växande och uppåt begränsad (med bevis). Definition av talet e.
18/9	Härledning av resterande standardgränsvärden. Definition av hopningspunkt. Exempel. Definition av omgivningar för ändliga och oändliga punkter. Gränsvärdesdefinitionen formulerad med omgivningar. "Översättning" i konkreta fall. Epsilon-delta-definitionen. Illustrationer. Arc4a.
20/9	Ind8. Summan arcsin x+arccos x. Duggan: genomgång av de allvarligaste felen. Lista över alla standardgränsvärden. Inventering: vad har vi använt för egenskaper som måste bevisas?
21/9	Ind10a. Stark induktion - formulering. Felaktiga induktionsbevis: "hästproblemet" och triangelolikheten. "Översättning" av gränsvärdesdefinitionen i fler konkreta fall. Gränsvärde av summa, bevis. Gränsvärde av funktion som går mot 0 ggr begränsad funktion, bevis.
22/9	Kontinuitet i en punkt, epsilon-delta-definition. Kontinuitet i en mängd. De elementära funktionerna är kontinuerliga. Bevis av kontinuitet för heltalspotenser, rotfunktionen och sinus. Uppgifter: 191030: 2a; 210925: 2, 3.
25/9	Gränsvärden och kontinuitet: översikt över definitioner och egenskaper. Epsilon-delta-bevis av produktregeln för gränsvärden. Satsen om mellanliggande värden och Weierstrass sats (endast formulering, inga bevis). Kontinuitet av inversa funktioner (utan bevis). Kap. 2: 20, 21.
27/9	Kap. 2: 17b. Exempel på funktioner som går/inte går att utvidga till kontinuerliga funktioner. Deriverbarhet i en punkt och i en mängd. Derivatan och dess tolkningar. Sats: Deriverbarhet medför kontinuitet. Omvändningen gäller inte, f(x)=\|x\| i 0. De elementära funktionernas derivator - härledning (positiva heltalspotenser, roten ur, exponentialfunktionen, logaritmen, sinus). Räkneregler. Bevis för summaregeln. Linearitet.
28/9	Weierstrass sats - motexempel om någon av förutsättningarna bryts. Produktregeln för derivata - bevis. Sammansatta funktioner - gränsvärden och kontinuitet. Kedjeregeln (endast formulering). Satsen om invers funktions derivata. Härledning av derivatorna av logaritmen och arcusfunktionerna. Induktiv definition av derivator av högre ordning.
29/9	Satsen om invers funktions derivata: derivatan av funktionen "roten ur". Derivatan av ln \|x\|. Kap. 3: 13a (modifierad), 13c, 16, 17 (logaritmisk derivata). Lokala extrema, minsta och största värde. Fermats sats (om derivatan i ett inre lokalt extremum).
2/10	Kap. 3: 14de. Växande (avtagande) funktion har icke-negativ (icke-positiv) derivata. Funktionerna f_n(x)=x^n sin(1/x), 0 i 0 - kontinuitet och deriverbarhet i 0 beroende på n. Medelvärdessatser: Rolle (med bevis), Lagrange (med bevis), Cauchy (endast formulering). En funktion med icke-negativ derivata på ett intervall är växande. Integralkalkylens huvudsats: funktion, vars derivata är identiskt noll i ett intervall, är konstant i det intervallet.
4/10	Kap. 4: 12a, 13a. Konvexitet. Kopplingar till andra derivatans tecken för två ggr deriverbara funktioner. Inflexionspunkter. Asymptoter - vertikala och sneda, exempel. Grafritning. Exempel: f(x)=ln x/x.
5/10	Primitiva funktioner - definition. Kontinuerliga funktioner har primitiva (utan bevis). Darboux sats: nödvändigt villkor för att en funktion ska ha primitiv. Heavisides funktion har ingen primitiv. Två primitiva till samma funktion på ett intervall skiljer sig med konstant. Tabell över derivator/primitiva. Linearitet. Satsen om partiell integration. Satsen om variabelsubstitution. Den primitiva till ln x. Kap. 5: 9h (tan x), 17d (arctan x). Typer av funktioner som man integrerar m.h.a. partiell integration.
9/10	Kap. 5: 2f, 11f. Typer av funktioner som man integrerar m.h.a. partiell integration - fortsättning. Kap. 5: 17bf, 18ab, 37b (m.h.a. partiell integration); 40cf (m.h.a. variabelsubstitution). Integral av rationell funktion. Partialbråksuppdelning. Integralerna av de tre enklare typerna av partialbråk. Kap. 5: 23b, 24a, 27b, 28d.
11/10	Kap. 4: 5a (med alla detaljer. "Naiva" variabelsubstitutioner. Kap. 5: 10f, enkla exempel med rötter. Rationell funktion av x och olika rötter ur (ax+b)/(cx+d). Kap. 5: 33. Exempel: rationell funktion av både andra och tredje roten ur x. Supremumaxiomet. Idén att definiera area som gränsvärde av in- och omskrivna figurer som består av rektanglar.
12/10	Kap. 5: 31a. Integraler av rationell funktion av x och roten ur andragradsuttryck - kvadratkomplettering och substitutioner beroende på andragradsuttryckets nollställen. Riemannintegralen: Darbouxsummor och deras egenskaper. Över- och underintegral. Riemannintegrerbarhet av begränsad funktion på slutet och begränsat intervall. Sats: kontinuerliga fuktioner på slutet och begränsat intervall är R-integrerbara (utan bevis). Dirichlets funktion som exempel på funktion som inte är R-integrerbar.
13/10	"Intuitiv" definition av Riemannintegralen m.h.a. Riemannsummor. R-integralens egenskaper - troliggörande m.h.a. Riemannsummor. Triangelolikheten. Medelvärdessatsen för integraler. Analysens huvudsats (Newton-Leibniz sats). Insättningsformeln. Kategorier funktioner som är Riemannintegrerbara. Riemanns funktion. Partiell integration och variabelsubstitution i Riemannintegraler.
16/10	Kap. 5: 51f med tangenssubstitution. Universalsubstitutionen för integral av rationell funktion av sinus och cosinus. 51f fortsättning. Generaliserade integraler av båda typerna. Kap. 6: 26b. Jämförelsekriteriet för icke-negativa integrander. Integraler av potenser av x i oändligheten och i 0. Exempel på tillämpning. Absolutkonvergens. Sats: absolutkonvergens medför konvergens.
18/10	Kap. 6: 36, 41; intuitiv hypotes och ordentliga uppskattningar. Repetition: Talsystem, induktionsaxiomet och supremumaxiomet. Gränsvärden - definition. Bevis av instängningslagen. Kontinuitet. Deriverbarhet. Alternativ definition för derivata. Ekvivalens av de båda definitionerna. Genomgång av övningstentan.
19/10	Derivata av sammansatt funktion: kedjeregeln. Bevis med hjälp av den alternativa definitionen för derivata. Tillämpningar av derivator för bevis av olikheter. Kap. 4: 15d. Kap. 6: 13. Partiell integration och variabelsubstitution i obestämda och bestämda integraler. Kap. 6: 19b. Kap. 5: 39a, samt samma integral från 0 till pi/2. Kap. 5: 40f, universalsubstitutionen efter sänkning av gradtalet. Den primitiva till \|x\| (20201028: 4a). Generaliserade integraler - uppskattningar. Kap. 6: 32d.