\documentclass[]{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
%opening
\title{Amplituden}
\author{Carl-Joar Karlsson \\ \small carljoar@chalmers.se}

\begin{document}

\maketitle

En kommentar på räkneövningen den 22 november i KS11.
Vi härleder amplituden för 
%
\begin{equation}
\label{eq:y}
  y(t) = A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)
\end{equation}
%
Amplituden är maxvärdet, så vi letar efter derivatans nollställe:
%
\begin{equation}
  0= y'(t) = \omega(A\cos(\omega t)-B\sin(\omega t))
\end{equation}
%
vilket är en ekvation för $t$. Kalla dess lösning $t_0$. Detta $t_0$ uppfyller
%
\begin{equation}
\label{eq:derivata}
  A\cos(\omega t_0) = B\sin(\omega t_0)
\end{equation}
%
Sätter vi in det i~(\ref{eq:y}) får vi
%
\begin{equation}
  \max y(t) = y(t_0) = \left(\frac{A^2}{B}\cos(\omega t_0) + B\cos(\omega t_0)\right)= \frac{A^2+B^2}{B}\cos(\omega t_0)
\end{equation}
%
Använd nu trigonometriska ettan på~(\ref{eq:derivata}) för att eliminera $\cos(\omega t_0)$:
%
\begin{multline*}
\cos(\omega t_0)=\frac{A}{B}\sqrt{1-\cos^2(\omega t_0)} \implies \max y(t) = \frac{A^2+B^2}{B}\cos(\omega t_0) = \\ =\frac{A^2+B^2}{B}\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} = \sqrt{A^2+B^2}
\end{multline*}
%
Alltså antar $y(t)$ sitt maxvärde (eller minvärde), vilket är $\sqrt{A^2+B^2}$, i $t_0$.

\bigskip
\noindent
\textbf{Fråga:} Tar ovanstående räkning hänsyn till tecknet på de trigonometriska funktionerna? Kan du göra det rigorösare? 

\bigskip
\noindent
\textbf{Fråga:} Kan man förstå härledningen utifrån en bild (av en ellips)?

\bigskip
\noindent
\textbf{Fråga:} Kan man skriva om $y(t)$ som en funktion av \emph{en} trigonometrisk funktion? Hur många okända konstanter får vi då?

\bigskip
\noindent
\textbf{Fråga:} Hade det inte varit enklare att byta variabel från $t$ till $s=\omega t$ redan från början? Kan vi alltid göra så, i alla sammanhang?

\end{document}
