MVE041 Flervariabelmatematik
Oktober-omtentan kommer att bli en distanstenta och organiseras på samma sätt som ordinarie tentan och augusti-omtentan (se anslag ovan). Canvas-sidan för oktober-omtentan finns här: https://chalmers.instructure.com/courses/12721
Obs! Du måste vara anmäld till tentan för att kunna komma åt inlämningsuppgiften i Canvas där dina lösningar ska laddas upp.
Här är ordinarie tentan med lösningar: OrdinarieTentamen.pdf, LösningarOrdinarieTentamen.pdf
Hej och välkommen till kursen! Här är en introduktionsvideo som går igenom hur kursen, iallafall till en början, kommer att gå till på distans. Som ni kommer att märka är ljudet lite osynkat men detta är inget större problem i föreläsningarna och övningarna längre ner.
På denna sida finns programmet för kursen: föreläsningar, räkneövningar, datorlaborationer och duggor. Övriga uppgifter, såsom t.ex. kursmål, lärare, kurslitteratur och examination, finns i ett separat kurs-PM.
Program
Kursens schema finns i TimeEdit.
Föreläsningar och Övningar
På föreläsningarna kommer den centrala teorin att gås igenom och centrala exempel att räknas igenom. Det finns ingen möjlighet att täcka allt på föreläsningarna, så det är viktigt att komplettera dessa med läsning i kursboken.
På övningarna kommer jag att lösa de uppgifter som står under "Demonstration".
| Dag | Tid | Avsnitt och Innehåll / Demonstration och Självverksamhet |
|---|---|---|
| 23/3 |
Kl. 08:00-09:45 |
Föreläsning 12.1–12.2 Funktioner av flera variabler. Grafer till funktioner av två variabler. Nivåkurvor och nivåytor av funktioner av två resp. tre variabler. Gränsvärden (MATLAB .fig-filer) och kontinuitet i flera variabler. |
| 23/3 |
Kl. 10:00-11:45 |
Övning Demonstration: 10.1: 28, 32, (repetition) 12.1: 15, 16, 37, Självverksamhet: 10.1: 3, 5, 13, 15, 17, 19, 21, 27, 29 (repetition) 12.1: 1, 5, 7, 13, 14, 19, 21, 27, 38, |
| 25/3 | Kl. 08:00-09:45 |
Föreläsning 12.3-12.5 Partiella derivator. Tangentplan (.fig-fil) och normallinjer till funktionsgrafer. Högre ordningens derivator. Laplace ekvation och harmoniska funktioner. Kedjeregeln i flera variabler |
| 27/3 | Kl. 08:00-09:45 |
Föreläsning 12.5, 12.7 Kedjeregeln i flera variabler (forts.) Gradienter och deras geometriska tolkning. Riktningsderivator och deras relation till gradienter. |
| 27/3 | Kl. 10:00-11:45 |
Övning Demonstration: 12.3: 9, 11, 21, Självverksamhet: 12.3: 2, 5, 8, 10, 15, 24, 27, |
| 30/3 | Kl. 08:00-09:45 |
Föreläsning 12.6, 12.9 Linjära approximationer av funktioner av två variabler. Differentierbarhet i flera variabler. Funktionalmatriser och Jacobianer. Taylorutvecklingar av ordning ett. |
| 30/3 | Kl. 10:00-11:45 |
Övning Demonstration: 12.6: 20, Självverksamhet: 12.6: 1, 7 (strunta i differentialen), 19. |
| 1/4 | Kl. 08:00-09:45 |
Föreläsning 13.1 Globala och lokala extrempunkter och -värden i flera variabler. Sadelpunkter. Andraderivatatestet i flera variabler. Genväg i fallet n=2 |
| 3/4 | Kl. 08:00-09:45 |
Föreläsning 13.2 Optimering på kompakta områden |
| 3/4 | Kl. 10:00-11:45 |
Övning Demonstration: 13.1: 11, 22, Självverksamhet: 13.1: 3, 5, 7, 16 (en punkt räcker), 19, 20, |
| 15/4 | Kl. 08:00-09:45 |
Föreläsning 13.3 Optimering med ett eller flera bivillkor (.fig-fil). Lagrange-funktionen och Lagrange-multiplikatorer i planet och rummet. |
| 15/4 | Kl. 10:00-11:45 |
Övning Demonstration: 13.3: 10, 15, 21 Självverksamhet: 13.3: 1, 4, 6, 7, 13, 16, 22.
|
| 17/4 | Kl. 08:00-09:45 |
Föreläsning 14.1-14.2 Dubbelintegraler. Partitioner och Riemann-summor (animerad .gif-fil) för rektangulära områden. Utvidgning med 0 för icke-rektangulära områden. Elementära egenskaper. Itererad integrering (animerad .gif-fil). |
| 17/4 | Kl. 10:00-11:45 |
Övning Demonstration: 14.1: 19, 21. Självverksamhet: 14.1: 13, 14, 18, |
| 20/4 | Kl. 08:00-09:45 |
Föreläsning 14.3-14.4 Generaliserade dubbelintegraler. Variabelbyten i enkel- och dubbelintegraler. Områden med cirkulär symmetri och polära koordinater. |
| 20/4 | Kl. 10:00-11:45 |
Övning Demonstration: 14.3: 4, 24, Självverksamhet: 14.3: 3, 7, 8, 23, 25, |
| 22/4 | Kl. 08:00-09:45 |
Föreläsning 14.5 Trippelintegraler och deras användning vid mass- och volymberäkningar. |
| 24/4 | Kl. 08:00-09:45 |
Föreläsning 10.6, 14.6-14.7 Variabelbyten för trippelintegraler. Cylindriska- och sfäriska koordinater och deras egenskaper. Arean av en yta. |
| 24/4 | Kl. 10:00-11:45 |
Övning Demonstration: 14.5: 4, 10, 27, Självverksamhet: 14.5: 1, 7, 9, 14, 15, 17, 20, |
| 27/4 | Kl. 08:00-09:45 |
Föreläsning 11.1, 11.3 Vektorvärda funktioner av en variabel. Parametriseringar av kurvor och tillämpningar på längdberäkningar. |
| 27/4 | Kl. 10:00-11:45 |
Övning Demonstration: 14.7: 9, Självverksamhet: 14.7: 1, 3, 6, |
| 29/4 | Kl. 08:00-09:45 |
Föreläsning 15.1-15.3 Skalära fält och vektorfält. Visualisering av vektorfält; fältlinjer. Konservativa vektorfält och potentialer. Linjeintegraler av skalära fält. |
| 29/4 | Kl. 10:00-11:45 |
Övning Demonstration: 15.2: 2, 10 (räcker med potential) Självverksamhet: 15.1: 3, 5 (skissa bara vektorfältet) |
| 4/5 | Kl. 08:00-09:45 |
Föreläsning 15.4 Linjeintegraler av vektorfält och deras fysikaliska tolkning. Ekvivalenta karakteriseringar av konservativa vektorfält. Enkelt sammanhängande områden och tillräckliga villkor för existens av potentialfunktioner. |
| 4/5 | Kl. 10:00-11:45 |
Övning Demonstration: 15.4: 8, 9, 16. Självverksamhet: 15.4: 1, 5, 7, 12, 13, 17, 19, 22. |
| 8/5 | Kl. 08:00-09:45 |
Föreläsning 15.5 Parametriserade ytor och ytintegraler. Mass- och areaberäkningar. (Exempelyta med en .fig-fil) |
| 8/5 | Kl. 10:00-11:45 |
Övning Demonstration: 15.5: 8, 9, 10. Självverksamhet: 15.5: 3, 4, 7, 13, 15,
|
| 11/5 | Kl. 08:00-09:45 |
Föreläsning 15.6, 16.1 Enhetsnormalvektorfält och orienterbara ytor. Flödesintegraler och deras fysikaliska tolkning. Divergensen av ett vektorfält. |
| 11/5 | Kl. 10:00-11:45 |
Övning Demonstration: 15.6: 4, 7, 9. Självverksamhet: 15.6: 1, 2, 3, 5, 6 |
| 13/5 | Kl. 08:00-09:45 |
Föreläsning 16.1-16.2 Rotationen av ett vektorfält. Beräkningar av divergens och rotation med hjälp av nabla-operatorn. |
| 15/5 | Kl. 08:00-09:45 |
Föreläsning 16.3-16.4 Greens sats. Gauss sats (Divergenssatsen) |
| 15/5 | Kl. 10:00-11:45 |
Övning Demonstration: Vektoranalys: 3 Självverksamhet: 16.1: 4, 7, 8,
|
| 18/5 | Kl. 08:00-09:45 |
Föreläsning 16.5-16.6 Stokes sats. Maxwells ekvationer på differential- och integralform. |
| 18/5 | Kl. 10:00-11:45 |
Övning Demonstration: 16.5: 4, 10. Självverksamhet: 16.5: 1, 2, 3, 5, 6, |
| 20/5 | Kl. 08:00-09:45 |
Repetitionsföreläsning: Differentialkalkyl och optimering |
| 25/5 | Kl. 08:00-09:45 |
Repetitionsföreläsning: Dubbel- och trippelintegraler. Vektoranalys |
| 25/5 | Kl. 10:00-11:45 |
Repetitionsövning |
| 27/5 | Kl. 08:00-09:45 |
Repetitionsföreläsning: Vektoranalys |
Rekommenderade övningsuppgifter
| Dag | Demonstration | Självverksamhet |
|---|---|---|
| 23/3 |
10.1: 28, 32, (repetition) 12.1: 15, 16, 37, |
10.1: 3, 5, 13, 15, 17, 19, 21, 27, 29 (repetition) 12.1: 1, 5, 7, 13, 14, 19, 21, 27, 38, |
| 27/3 | 12.3: 9, 11, 21, 12.4: 12, 12.5: 6, 17. |
12.3: 2, 5, 8, 10, 15, 24, 27, 12.4: 2, 5, 11, 15. 12.5: 7, 11, 15b, 19, 31, 33. |
| 30/3 | 12.6: 20, 12.7: 5, 9, 21. |
12.6: 1, 7 (strunta i differentialen), 19. 12.7: 1, 3, 7, 11, 13, 17, 18, 27. 12.9: 6 (det räcker att utveckla till och med grad 1) |
| 3/4 | 13.1: 11, 22, 13.2: 5, 9. |
13.1: 3, 5, 7, 16 (en punkt räcker), 19, 20, 13.2: 1, 3, 6, 7, 8, 10, 11. |
| 17/4 | 13.3: 10, 15, 21 | 13.3: 1, 4, 6, 7, 13, 16, 22. |
| 20/4 | 14.1: 19, 21. 14.2: 14, 18, 23. |
14.1: 13, 14, 18, 14.2: 5, 7, 8, 9, 13, 15, 16, 19, 21, 22, 25. |
| 24/4 | 14.3: 4, 24, 14.4: 10, 22, 33 |
14.3: 3, 7, 8, 23, 25, 14.4: 3, 5, 9, 11, 15, 17, 21, 23, 26, 32, 35. |
| 27/4 | 14.5: 4, 10, 27, 14.6: 4, 14. |
14.5: 1, 7, 9, 14, 15, 17, 20, 14.6: 1, 11, 16. |
| 29/4 | 14.7: 9, 11.1: 17, 11.3: 3, 9, 17. |
14.7: 1, 3, 6, 11.1: 3, 7, 11.3: 2, 5, 7, 13. |
| 4/5 | 15.2: 2, 10 (räcker med potential) 15.3: 10, 15. |
15.1: 3, 5 (skissa bara vektorfältet) 15.2: 1, 3, 5, 9 (räcker med potential) 15.3: 1, 3, 7, 9. |
| 8/5 | 15.4: 8, 9, 16. | 15.4: 1, 5, 7, 12, 13, 17, 19, 22. |
| 11/5 | 15.5: 8, 9, 10. | 15.5: 3, 4, 7, 13, 15, Vektoranalys: 1, 2, 4, 5. |
| 15/5 | 15.6: 4, 7, 9, 16.1: 8. |
15.6: 1, 2, 3, 5, 6, 16.1: 4, 7. |
| 18/5 | Vektoranalys: 3 16.4: 4, 14. |
16.3: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 16.4: 1, 3, 5, 8, 9, 12, 13, 17, |
| 25/5 | 16.5: 4, 10. | 16.5: 1, 2, 3, 5, 6, Vektoranalys: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. |
| 27/5 | -- | Reserv |
Datorlaborationer
I kursen ingår obligatoriska laborationer i programvaran Matlab. Dessa utgör ett eget moment om 1,5 hp. Chalmers har nämligen studentlicens för MATLAB och du kan ladda ned från Chalmers programvaruserver. Instruktioner för installation av programvara finner du här (Länkar till en externa sida.).
Material: Materialet till samtliga laborationer finns under rubriken "MVE041 - Flervariabelmatematik" på följande websida: Matlab för Z (Länkar till en externa sida.).
Examination: Laborationerna examineras i Möbius genom särskilda laborationsuppgifter. När uppgifterna i en laboration är lösta, gå till motsvarande modul i Canvas, öppna motsvarande uppgifter i Möbius och lös problemen med hjälp av uppgifterna som löstes i laborationen. Precis som med traditionella laborationer är det tillåtet att samarbeta under laborationen, men laborationen ska redovisas individuellt i Möbius.
Till varje laboration hör ett antal uppgifter som är organiserade som separata moment i Möbius. Varje uppgift har en begränsning på antalet försök (oftast maximalt 5 försök). Ifall man inte lyckas få rätt på dessa försök, eller inte får godkänt i alla delmoment inom tillhörande deadline, så måste labben kompletteras genom att redovisa laborationsbladets uppgifter via Zoom. Ta kontakt med examinatorn snarast om så är fallet.
För godkänt på en laboration krävs godkänt på samtliga tillhörande uppgifter i Möbius. Uppgifterna som tillhör de olika laborationerna är tillgängliga inom följande tidsramar:
| Laboration | Tillgänglig under tidsperioden |
|---|---|
| 1 | måndag 23/3 12:00 - söndag 12/4 23:59 |
| 2 | måndag 13/4 12:00 - söndag 26/4 23:59 |
| 3 | måndag 20/4 12:00 - söndag 3/5 23:59 |
| 4 | måndag 27/4 12:00 - söndag 10/5 23:59 |
| 5 | måndag 4/5 12:00 - söndag 17/5 23:59 |
| 6 | måndag 11/5 12:00 - söndag 24/5 23:59 |
På anmodan skall du kunna redovisa den Matlab-kod som använts för att lösa laborationsuppgifterna. Spara därför ditt arbete på ett strukturerat sätt i väl kommenterade .m-filer.
För laborationsuppgifterna i Möbius gäller att:
- Det är inte tillåtet att låta någon annan göra laborationsuppgifterna åt en i Möbius, eller att ta hjälp av någon annan programvara än Matlab för att lösa uppgifterna.
- Numeriska svar anges på decimalform med punkt (.) som decimaltecken.
- Svar skall anges med standardprecision (s.k. 'format short') i Matlab, d.v.s. med 4 decimaler, om inte annat anges i uppgiften.
- Till skillnad mot de vanliga duggorna finns det inte möjlighet att använda "How Did I Do?" på laborationerna.
Referenslitteratur för Matlab:
- Material utvecklat av MV (Länkar till en externa sida.) som ger en kortfattad introduktion till Matlab
- Programmering med Matlab (Länkar till en externa sida.), Katarina Blom. Ger en introduktion till Matlab och lär ut grunderna i programmering med Matlab. Rekommenderas varmt för dig som är nybörjare både vad gäller programmering och Matlab.
- Learning MATLAB, Tobin A. Driscoll. Ger en kortfattad introduktion till Matlab till den som redan kan programmera. Finns som e-bok på Chalmers bibliotek (Länkar till en externa sida.)
- Physical Modeling in MATLAB 3/E, Allen B. Downey. Boken är gratis att ladda ner från nätet (Länkar till en externa sida.). Boken ger en introduktion för dig som inte programmerat förut. Den täcker grundläggande MATLAB-programmering med fokus på modellering och simulation av fysikaliska system.
Duggor
I kursen kommer det att ges möjlighet att utföra sex duggor i en nätbaserad miljö som kallas Möbius Assessment. Dessa är inte obligatoriska men man kan få upp till fem bonuspoäng inför tentamen. Antalet erhållna bonuspoäng beror på hur många duggor man klarat av. Ifall man fått godkänt i N st duggor (och N>1), så får man N – 1 bonuspoäng till tentan. Bonusen är giltig under innevarande läsår (tenta 1 juni 2020, omtenta 28 augusti 2020, omtenta januari 2021).
Tanken med duggorna är att underlätta studierna. Det är tillåtet att ta hjälp av lärare eller andra kursdeltagare för Möbius-duggorna. Det är inte tillåtet att låta någon annan göra duggan åt en, eller att ta hjälp av programvara för att lösa uppgifterna. När du lämnar in duggan intygar du samtidigt att du förstått de svar du lämnat och att du själv kommit fram till dem.
Duggorna kan göras när ni vill inom följande tidsramar:
| Dugga | Tillgänglig under tidsperioden |
|---|---|
| 1 | torsdag 26/3 08:00 - onsdag 1/4 23:59 |
| 2 | torsdag 2/4 08:00 - tisdag 14/4 23:59 |
| 3 | torsdag 16/4 08:00 - söndag 26/4 23:59 |
| 4 | måndag 27/4 08:00 - söndag 3/5 23:59 |
| 5 | måndag 4/5 08:00 - söndag 10/5 23:59 |
| 6 | tisdag 12/5 08:00 - onsdag 20/5 23:59 |
Du kan komma åt duggorna, under de tidsperioder de är tillgängliga, via moduler i Canvas. Där kan du också se vilka duggor du har godkänt resultat på. Instruktioner för duggorna och för att använda Möbius finns i uppgifterna för de individuella duggorna.
Kurssammanfattning:
| Datum | Information | Sista inlämningsdatum |
|---|---|---|