Observera att kursen kommer att ges i blandad form med föreläsningar i zoom och övningar på campus. Tentamen kommer att vara på campus. 

 

Här är tentan från 22 augusti 2022 med lösningar.

Här är tentan från 3 januari 2022 med lösningar.

Här är tentan från 23 oktober 2021 med lösningar. 

 

Kurs-PM

På denna sida finns allmän information inklusive program för föreläsningar och räkneövningar. Övriga uppgifter, såsom t.ex. kursmål, lärare, och examination, finns i ett separat kurs-PM.

 

Lärare

Kursansvarig: Elizabeth Wulcan

Övningsledare: Oscar Carlsson (grupp F1, F3), Hampus Renberg Nilsson (grupp F2, F4), Linnea Hallin (grupp TM1, TM2) 

Studentrepresentanter: Matilda Hellström (cid: mathe) och Filippa Hultin (cid: hultinf)

 

Föreläsningar

Föreläsningarna kommer att äga rum i zoom enligt schema och nås via

https://chalmers.zoom.us/j/64621042648 lösen 338269.

För att delta i föreläsningarna behöver ni installera zoom om ni inte redan har gjort det. Gör gärna detta i god tid före första föreläsningen.

Föreläsningarna kommer att hållas med hjälp av en skrivplatta och anteckningar från dessa kommer efteråt att läggas upp på hemsidan.  Under föreläsningarna kommer det att finnas möjlighet att ställa frågor genom att använda handuppräckningsfunktionen eller chatten i zoom. Ni får gärna ha kameran på under föreläsningarna men jag är tacksam om ni har mikrofonen avstängd när ni inte ställer eller svarar på frågor. 

Anteckningarna kommer att läggas upp efter föreläsningarna i programmet nedan. 

 

Övningar

Övningarna kommer att hållas på campus enligt schemat nedan.

Det kommer att finnas konsultationstillfällen (gemensamma för MVE670 och TMA970) för de studenter som inte kan ta sig till campus, t ex p g a sjukdom. Dessa kommer att hållas av Carl-Joar Karlsson enligt schema: 

1.  Första veckan: inget zoom-möte
2.  Tis kl. 15-17 (7 sep)
3.  Tis kl. 15-17 (14 sep)
4.  Mån kl. 13-15 (20 sep)
5.  Tis kl. 15-17 (28 sep)
6.  Ons kl. 8-10 (6 okt)
7.  Mån kl. 15-17 (11 okt)
8.  Tis kl. 15-17 (19 okt)

i zoom-rummet 

https://chalmers.zoom.us/j/65324163368 (Länkar till en externa sida.)

Password: Euklides (zoom-rummet för kursen TMA970. 

 

 

Kurslitteratur

Gunnar Sparr: Linjär algebra, andra upplagan, Övningar i Linjär algebra, nionde upplagan, [S].

Arne Persson, Lars-Christer Böiers: Analys i en variabel, Tredje upplagan. Appendix A (samma bok som används i Inledande Matematisk Analys TMA970), Övningar i Analys i en variabel, sjätte upplagan, [PB].

Uppgifter - minsta kvadratmetoden: del 1, del 2 (tentor), [MK]

Utdrag ur Kjell Holmåker: Linjär algebra med tillämpningar, [H].

Utdrag ur Problemsamling i linjär algebra, Matematiska institutionen, Göteborg, [Pr].

Här och här finns några uppgifter i geometri (i dim n) för den intresserade.

Här och här finns extra material om ortogonal projektion respektive avstånd för den intresserade.

Här finns anteckningar om baser och koordinater.

Här finns lite anteckningar om algebraiska strukturer (grupper, ringar, kroppar, vektorrum, algebror) för den intresserade.

Här finns (extra) material om minsta kvadratmetoden för den intresserade.

Här finns en extra uppgift om linjära avbildningar för den intresserade.

Här finns ett bevis för att determinanten är multiplikativ.

 

Schema

Kursens schema finns i TimeEdit. Förutom läsvecka 6 och 8 ser det ut enligt nedan. 

	måndag	tisdag	onsdag	torsdag	fredag
8:00-9:45		Övning, FL71(F3), FL72(F4), FL73(TM1)	Föreläsning
10:00-11:45	Föreläsning	Övning, FL61(F1), FL62(F2), FL63(TM2)		Föreläsning
13:15-15:00					Föreläsning
15:15-17:00

 

Program

Föreläsningar

	Dag	Avsnitt	Innehåll
Fö 1	30/8	Introduktion, linjära ekvationsssystem, gausselimination.	S: 1.1-3
Fö 2	1/9	Vektorer: definitioner, räkneregler.	S: 2.1-2,2.4
Fö 3	2/9	Linjärkombination, linjärt beroende, bas.	S: 2.3-4
Fö 4	3/9	Baser och koordinater, koordinatsystem.	S: 2.3, 3.1
Fö 5	6/9	Skalärprodukt, ortogonalitet, ortogonal projektion.	S: 4.1-2
Fö 6	8/9	Vektorprodukt (kryssprodukt), skalär trippelprodukt.	S: 5.1-4
Fö 7	9/9	Vektorprodukt i HON-bas. Linjer och plan.	S: 3.2-4, 4.3, 5.5
Fö 8	10/9	Geometri i planet och rummet.	S: 4.3, 5.5
Fö 9	13/9	\(\mathbb R^n\)${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$.	S: 6.1-4
Fö 10	15/9	Matriser: definitioner, räkneregler, transponat.	S: 7.1-3
Fö 11	16/9	Matriser och linjära ekvationssystem, kolonnrum, nollrum, rang, nolldimension.	S: 7.4, 7.7
Fö 12	17/9	Linjära ekvationssystem, invers.	S: 7.5
Fö 13	20/9	Linjära ekvationssystem, invers, fortsättning.	S: 7.2
Fö 14	22/9	Minsta kvadratmetoden, linjära avbildningar.	S: 7.8 + MK, 8.1-2
Fö 15	23/9	Linjära avbildningar, avbildningsmatris, injektivitet, surjektivitet, inverterbarhet, isometrier.	S: 7.6, 8.1-2, 8.4
Fö 16	24/9	Linjära avbildningar, basbyten.	S: 2.5, 7.6, 8.4-5
Fö 17	27/9	Determinanter: definition, geometrisk tolkning.	S: 9.1-2, 9.7, 9.9
Fö 18	29/9	Determinanter: egenskaper, räkneregler.	S: 9.3, 9.6, 9.9
Fö 19	30/9	Beräkna determinanter: utveckling efter rad/kolonn, adjunkt. Determinanter och rang.	S: 9.4-5, 9.9
Fö 20	1/10	Komplexa tal: räkneregler, exponentialfunktionen.	PB: A.1-7
Fö 21	4/10	Polynomekvationer.	PB: A.8-10
Fö 22	4/10	Egenvärden och egenvektorer.	S: 10.1-2
Fö 23	5/10	Diagonalisering.	S: 10.3
Fö 24	11/10	Diagonaliserbara matriser, symmetriska matriser, spektralsatsen.	S: 10.3
Fö 25	13/10	Spår, determinant och egenvärden. Tillämpningar.	S: 10.4
Fö 26	14/10	Vektorrum: definition, exempel, underrum.	H: s 2-6
Fö 27	15/10	Linjärt beroende, bas, dimension. Linjära avbildningar.	H: s 8-11, 43-44
Fö 28	18/10	Skalärprodukt, ortogonalitet.	H: s 28-29, 31-32
Fö 29	20/10	Repetition.
Fö 30	21/10	Frågestund.
	23/10	Tentamen.

 

Tillbaka till toppen

Övningsuppgifter

Dag	Demonstration	Förslag på uppgifter för självverksamhet att välja bland
31/8	S: 1.3, 4, 18	S: 1.1-2, 5, 7, 8-13, 15-16, 19-23
7/9	S: 2.10, 19.b,d S: 3.3.a            S: 4.1.a,b	S: 2.1-9, 11-12, 17-21, 27, 29   S: 3.1-4 S: 4.1.c-e, 2-4, 6, 9, 10.a, 12-13, 16, 35
14/9	S: 3.5.c, 6.c, 14.a S: 4.26 S: 5.5 S: 6.2-3.a, 4-5.b,c	S: 3.5.b,d, 6.b,d, 7-8, 9.b, 10.b, 11.a, 12, 14.b, 15-16, 18.b, 20, 23, 28-29 S: 4.18.a, 19, 25.b,c, 27, 30, 32-33, 37, 39-40, 42, 44-45 S: 5.1-4, 6-12, 14, 15, 18-19, 21, 24 S: 6.1-10, 12-13
21/9	S: 7.1.a, 2.b,c, 5.a, 9.b, 23.f, 25	S: 7.1-8, 9.c,d, 10, 12-13, 23.a-d, 24, 26-28, 32, 34, 36
28/9	MK: del 1.3 S: 2.26 S: 7.15.a S: 8.7, 24	MK: del 1.1-2, 4 + valfri uppgift från del 2 S: 2.25, 28 S: 7.15.b,c, 16-17, 19 S: 8.1-2, 5-8, 10-12, 17-20, 25-26, 29-31, 40-42 S: 9.1-6, 8-9
5/10	S: 9.19, 21.a, 35, 54 PB: A.13, 39.b, 41.b.  S: 10.3.c	S: 9.10-15, 18-20, 22-23, 25-28, 31-34, 37-39, 42, 44, 46, 48, 49, 52 PB: A.2.c,f, 3.d,g, 4.c,f, 5, 10.c,e, 12.d, g, f, 14-15, 17, 18.c,g, 19, 20.c, 22, 24-28, 34.a-c, 37, 39.a, 41, 43, 46, 49 S: 10. 1-2, 3.b,d,f, 4.a,b,c,e, 5, 8-9
12/10	S: 10.12.c, 16, 17	S: 10.10, 12.b,d,f, 15, 18, 21, 23, 26, 29
19/10	Pr: 2, 6.c,d, 22.b, 55, 96	S: 18, 29 Pr: 3, 4, 6.a,e,f, 20.c, 21, 22.a, 23, 51, 53, 97, 130

 

Kurskrav

Kursens syfte och lärandemål finns angivna i kursplanen.

Vid tentamen ska man kunna definiera, förstå och kunna använda alla begrepp och funktioner som ingår i kurslitteraturen. Alla satser som ingår ska kunna formuleras och användas vid problemlösning.

Minst en av teorifrågorna kommer bygga på nedanstående lista (om inget annat står syftar sats- och sidnummer på [S]). Ni skall kunna definitionerna och kunna bevisa satserna i listan (om det inte uttryckligen står annat.) Bevisen ni skall kunna kommer att gås igenom på föreläsningarna. Behandlat material kommer att markeras grönt.

• Definition av linjärt beroende / linjärt oberoende, Definition 4, s 33, och Sats 5, s 36 (dimension 2, 3) (Föreläsning 2/9) samt Definition 3 och Sats 2, s 100 (dimension n) (Föreläsning 13/9).
• "Bassatsen": Sats 4 s 34-35, Kapitel 2.3 (dim 2 och 3), Sats 3, s 103 (dim n) (Föreläsning 13/9). 
• Lemma 1, s 28 (dim 1), Sats 2, s 29 (dim 2), Sats 3 s 30 (dim 3), se även här (Föreläsning 3/9).
• Definition av skalärprodukt, Definition 1, s 63 (Föreläsning 6/9). 
• Existens av ortogonal projektion se s 1-3 här och även Sats 1, s 65 (Föreläsning 6/9). 
• Definition av vektorprodukt, Definition 2, s 85 (Föreläsning 8/9).
• Definition och geometrisk tolkning av skalär trippelprodukt, Definition 3, s 85 och Sats 2, s 86 (Föreläsning 8/9). 
• Associativa lagen för matrisprodukt Sats 1(iv), (rad 1), s 121 (Föreläsning 15/9).
• Entydighet av invers, Lemma 2, s 129 (Föreläsning 17/9).
• Förändring av koordinater vid basbyten, Sats 6, s 137 (Föreläsning 24/9).
• Minsta kvadratmetoden, s 155-156, see även Proposition 1 här (Föreläsning 22/9).
• Sats 1, s 166 (Föreläsning 23/9).
• Determinantens definition, Definition 4, s 224 (Föreläsning 27/9).
• Sats 3, s 255 (Föreläsning 11/10).
• Lemma 2, s 256 (Föreläsning 11/10).
• Sats 7, s 259 (Föreläsning 13/10).
• Definition av vektorrum, [H] Definition 1.1, s 2 (Föreläsning 14/10).
• Definition av skalärprodukt och inre produktrum, [H] Definition 2.1, s 28 (Föreläsning 18/10).

 

Gamla tentor

Nedan är tentor i den tidigare kursen TMA660 som täcker materialet i Fö1-21. Egenvärden och egenvektorer samt allmänna vektorrum ingick tidigare i kursen Linjär algebra och numerisk analys (TMA971 och TMA972). 

 

• Tentamen 210823, lösningar.
• Tentamen 210104, lösningar.
• Tentamen 201024, lösningar.
• Tentamen 200824, lösningar.
• Tentamen 200107, lösningar.
• Tentamen 191026, lösningar.
• Tentamen 190826, lösningar.
• Tentamen 190107, lösningar.
• Tentamen 181027, lösningar.
• Tentamen 180827, lösningar.
• Tentamen 171219, lösningar.
• Tentamen 171023, lösningar.
• Tentamen 170821, lösningar.
• Tentamen 161220, lösningar.
• Tentamen 161024, lösningar.