MVE465 Linjär algebra och analys fortsättning H21

Hoppa fram till i dag

Kurs-PM

På denna sida finns programmet för kursen: föreläsningar, räkneövningar, datorlaborationer och duggor.

Övriga uppgifter, såsom t.ex. kursmål, lärare, labb och övningsledare kontakter,  kurslitteratur och examination, finns i ett separat kurs-PM.

Föreläsningar:

Alla föreläsningar sker på campus. Kursens schemat finns i TimeEdit.

Vid behöv  kommer vi att använda zoom länk  i Lp2/ HT2021.

https://chalmers.zoom.us/j/65006406296

Program

Tabellen nedan visar alla ämnen i kursplanen fördelade per vecka. Jag skulle vilja tacka före lärare, Alexei Heintz, för extramaterialets anteckningar.

Läsvecka Föreläsning Avsnitt Innehåll Anteckningar Extramaterial
1  (01/11)

F1.1

Adams:
5.1, 5.2, 5.3, 5.4,5.5, 2.10

 
Integraler och dess tillämpningar

Primitiva funktion (antiderivata), obestämd integral, några reglar.  Summor, area, Riemannsummor, bestämd integral för kontinuerliga funktioner och dess egenskaper. Integralkalkylens huvudsats, primitiv funktion

  F1_1_alice
Möbius uppgifter- screenshot: HÄR
   1  (04/11)

F1.2

Adams: 
 5.4, 5.5, 5.6
Medelvärdessatsen för integraler (bevis), Integralkalkylens huvudsats (bevis) Variabelsubstitution.
Partiell integration.
Areaberäkning.
 

Numerisk beräkning av integraler: här. Programskalet: min_integral
   1  (05/11)

F1.3

 Adams:

5.6, 5.7, 6.1

Volym ( metoden om partiell integration och subtitution)
  F1.3
 Lecture_1.3_volym
   2 (08/11)

F2.1

Adams:
7.1-7.3;

Volym av rotationskroppar.

Båglängd, rotationsytor.

   F2.1
   2 (11/11)

F2.2

Adams: 
6.2, 6.3, 6.5

Integration av rationella uttryck, partialbråksuppdelning.

Exempel med inversa substitutioner.

Generaliserade integraler av oändliga funktioner och generaliserade integraler över oändliga intervall.

 F2.2a

 F_2.2_rationella_funktioner 

F_2.2_generaliserade_integraler

 
  2 (12/11)

F2.3

Adams:

18.1, 2.10,

3.4, 7.9,

18.3,

Appendix I
Ordinära differentialekvationer.

Ordinära differentialekvationer (ODE),

begynnelsevärdesproblem, riktningsfält.
Separabla differentialekvationer

och

linjära  differentialekvationer av första ordningen med högerled i A. 7.9.

Vi kompletterade ämne från F2.2 :  F2.3

ODE flyttas för F3.1

Lecture_2.3_ODE

Studioövning: integraler  här.

Programskalet rotationsyta

Screenshots för Möbius uppgifter: HÄR
   3  (15/11)

 F3.1

Adams:
 3.7,

18.5-18.6

Numeriska metoder för ODE.

Introduktion till Studio 3. Euler metoden.

System differentialekvationer och fasporträtt. Linjära homogena och inhomogena ODE.

Introduktion till Studio 3: 3blue1brown exemples: film 

F3.1

F3.1_del_a (med exemple från Adams 7.6)

Lecture_3.1_ODE

 

 
   3  (18/11)

F3.2

Adams:

3.7,

18.5-18.6

 

Homogena linjära ODE av andra och högre ordning.
Inhomogena linjära ODE av andra ordningen med högerled på speciell form.
Komplexa tal, rötter av polynom. Eulers formel för komplex exponent i polär form.

 

Hom och Inhom. andra ordning

Högre ordning

Metod variation av parameter

filmer kommer snart

  Om komplexa tal ( historical perspective and applications): här
   3 (19/11)

F3.3

Lay:

1.1, 1.2

Lay:
1.3-1.5,  1.6
Linjär algebra

Repetition av begrepp från 1.1, 1.2: Linjära ekvationssystem, koefficientmatris, trappstegsform, Gausselimination, pivotelement, fri variabel.

Vektorer i Rn, linjärkombination, vektorekvation, linjära höljet/spannet, matrisekvationen Ax=b.
Satsen om 4 ekvivalenta villkor ör lösbarheten av Ax=b för godtyckjliga b.

 

 

 Studioövning ODE: här.

Programskalet min_ode.m

Screenshots för Möbius: HÄR
   4  (22/11)

F4.1

Lay:
 2.1

Matrisoperationer och dess räkneregler: multiplikation med skalär, matris-multiplikation, addition, transponerat.
Lösningsmängden för ett linjärt ekvationssystem.

Lecture_4.1_matriser

Lecture_3.3_vektorer_spannet

anteckningar_alice (materialet på föreläsning)

 

Linjära algebrans sammanfattning - en tabell med begrepp och satser som handlar om linjära ekvationer och linjära transformationer
   4  (25/11)

F4.2

Lay:

1.7, 1.8

Linjärt beroende, linjärt oberoende uppsättningar vektorer. Sats om linjärt beroende uppsättningar vektorer.

 F4.2_alice

 Lecture_4.2_ninjart_beroendet
   4  (26/11)

F4.3

Lay:

1.9

Linjära transformationer (avbildningar), standardmatrisen för en linjär transformation (avbildning).
Surjektiva och injektiva linjära transformationer. Inverterbara linjära transformationer.

 F4.3_alice

Lecture_4.3_linjara_transformationer

Studioövning om matriser och linjära ekvationssystem: här.

Screenshots för Möbius uppgifter: HÄR
   5 (29/11)

F5.1

Lay:
2.2-2.3

Inversen till en matris och dess beräkning. Explicit formel för inverser av 2x2 matriser.
Kriterier för inverterbara matriser, inverterbara linjära avbildningar. 

 F5.1alice

 Lecture_5.1_matris_invers
   5 (02/12)

F5.2

Lay:

2.8-2.9,

4.1-4.4

Underrum till Rn, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension.
Föreläsningsanteckningar 5.2 om underrum, nollrum, kolonnrum, bas, rank.

 F5.2_alice

Lecture_5.2_underrum_rank_dimension
   5 (03/12)

F5.3

Lay:

3.1, 3.2, 3.3, 5.1, 5.2

Determinanter. Egenskaper och geometrisk mening för determinanter.

Cramers regel.  Egenvektorer och egenvärden.

 

 F5.3_alice: inkluderar Cramers regel och mer exempler om detA via gausselimination. Också exempel av  satsen:  arean av T(S)=det(A).arean av S

  Lecture_5.3_egenvektorer_egenvärden
   6 (06/12)

F6.1


Lay:
5.1, 5.2, 5.3,  5.7

Egenvektorer, och egenvärden. Diagonalisering.
(exempel 2x2 matriser). Linjära system differentialekvationer med konstanta koefficienter i planet. Fasporträtt för linjära system ODE i planet.
Linjära system differentialekvationer av första ordningen med konstanta koefficienter, allmänt fall.

F6.1_egenvärde_vektorer_2x2,  film

F6_1_exempleMatris3x3

 Lecture_6.1_diagonalisering_systemODE
   6 (09/12)

F6.2

Lay:

6.1-6.3

Bevis till huvudsatsen om diagonalisering. Exempel med system linjära ODE med konstanta koefficienter.
Ortogonalitet, Fredholmsatsen, spektral dekomposition.

 

 F6.2_alice

 Lecture_6.2_ortogonalitet

zoom_innerproduct_13122020.mp4
   6 (10/12)

F6.3

Lay:

6.4-6.6

Ortogonal bas. Symmetriska matriser. Ortogonala matriser. Spektralsatsen.

Lecture_6.2_ortogonalitet

Studioövning om linjära system differentialekvationer: här.

Kommentar till studio 6, uppgift 3 finns här.

Screenshots för Möbius uppgifter : HÄR
  7 (13/12)

F7.1


Lay:
7.1, 6.1, 6.2, 6.4, 6.6

Ortogonal projektion på ett underrum.

Bästa approximationssatsen.
Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod.

vi kompletera detta materialet: Lecture_6.2_ortogonalitet

och fortsättar med detta:

Lecture_7.1_Minstakvadratmetoden
  7 (13/12)

F7.2


Lay:
7.1, 6.1, 6.2, 6.4, 6.6

Minsta kvadratmetoden.

Tillämpningar av minsta kvadratmetoden.
Ortogonal projektion på ett underrum, Gram Schmids process.

F7.2_minstakvadrat_exempler

 

zoom_F7.2_LeastSquareM_Example.mp4

F_7.2_LeastSquaresMethod.one
7 (17/12)

F7.3

 

Repetition av teori och typiska problem.

Gram-Schmidt orthogonalization process: text: R_1_Gram-Schmidt.pdf zoom_R_1_Gram_Schmidt.mp4 

2nd order ODE with constant coefficients:  Homog. and Nonhomogeneous cases: text: R_2_2nd_order_EDO.pdf  zoom_R_2_2nd_order_ODE.mp4

Collection of solved examples: Notes-2nd order ODE pt2.pdf

 

F7_3 : Kurssammanfattning

Studioövning om minsta-kvadratmetoden här. Filen labdata

Screenshots för Möbius uppgifter: HÄR 

 Systmems of ODE using the matricial form Linear Nonhomogeneous Systems of Differential Equations with Constant Coefficients - Page 2 (math24.net)

 

 

 

 

 

 Analytisk geometri+ frågor tentanLp1: här

 

Tillbaka till toppen

Rekommenderade övningsuppgifter

OBS! Uppgifter som är svarta och understrukna är uppgifter som vi förväntar oss att alla gör ("Godkänduppgifter")
          Uppgifter som är färgade och kursiva göres i mån av tid och ambition ("Överbetygsuppgifter")

          Vi arbetar med den sjätte upplagan av Lays boken. Uppgifter är inte lika med femte upplagen. Några kan ha samma fråga, men med olika vektorskoordinater. Andra är helt annorlunda. Först efter demonstrationsuppgiften skrivs motsvarande numrering för uppgifter i den femte upplagan, om ni inte har den rätta upplagen.

          Inspelade videos på de flesta av Demouppgifterna från den femte upplagen kommer att publiceras under fliken "sidor".

          Jimmy Aronssons lösningar på demonstrationsuppgifter finns HÄR. Detta dokument uppdateras under kursens gång.

Dag Övningsmöte uppgifter Rekommenderade uppgifter att räkna
V1_Ö1

Adams  - Övning 1.1

Demo: övre och undre summor, Riemanns summor - 5.3.14
integralens egenskaperer -  5.4: 2, 12, 34 
integralkalkulens huvudsats - 5.5.4, 5.5.26, 5.5.42
 antiderivata, primitiva funktionen - 2.10.6

Adams

Rekommenderade uppgifter: övre och undre summor, Riemanns summor - 5.3.5, 5.3.13
integralens egenskaperer - 5.4: 1, 5, 9, 13, 21, 27, 35
integralkalkulens huvudsats - 5.5: 5, 7, 11, 17, 23, 25, 29, 39, 41, 49
antiderivata, primitiva funktionen - 2.10: 3, 9, 11, 17, 21, 25

V2_Ö2

Adams  - Övning 2.1
Demo: integralkalkulens huvudsats 5.5.44

metoden med variabelsubstitution: y=p(x) - 5.6.4, 5.6.16, 5.6.18, 5.6.42
areaberäkning - 5.7.6,
partiell integration - 6.1.2, 6.1.8, 6.1.14.

invers variabelsubstitution: x=g(y) - 6.3.2,  6.3.5, 6.3.44

 

Rekommenderade uppgifter: metoden med variabelsubstitution - 5.6:  1, 3, 5, 6, 7, 9, 17, 19, 23, 43  
areaberäkning - 5.7:  1, 3, 9, 15, 19, 27, 29
partiell integration - 6.1:  3, 5, 7, 13, 19, 21,
inversa variabelsubstitution: x=g(y) - 6.3:  3, 7, 9, 29, 43 

Vi hoppar över: 5.1, 5.2, en del av 5.3, mycket av 6.
V2_Ö3

 Adams - Övning 2.2
Demo: volumen av rotationskroppar - 7.1.6, 7.1.12,
mera om volum med att skära i skivor -  7.2.2, 7.2.15
båglängden, arean av rotationsytor - 7.3:  5, 8, 20

 Rekommenderade uppgifter:
volumen av rotationskroppar -  7.1:  3, 5, 7, 11, 14,
volum med att skära i skivor -7.2:  7, 11 
båglängden och arean av rotationsytor - 7.3:  1, 3, 9, 13, 23, 33
V2_Ö4

Adams  - Övning 2.3                         
Demo:  integration av rationella funktioner, partiellbråkuppdelning - 6.2.10, 6.2.20, 6.2.28
generaliserade integraler - 6.5.8, 6.5.10, 


Rekommenderade uppgifter:
rationella funktioner, partiellbråksuppdelning - 6.2: 3, 9, 11-15, 21, 23, 27, 29
generaliserade integraler - 6.5: 1, 3, 9, 15, 19, 31, 33, 35   
V3_Ö5

Adams - Övning 3.1
Demo: ODE, begynnelsevärdesproblem - 18.1.4, 18.1.6, 2.10.40
växande och avtagane lösningar - 3.4.12, 3.4.26 
ODE med separabla variabler och  linjära ODE av första ordningen: 7.9.6, 7.9.16, 7.9.18

Rekommenderade uppgifter:
ODE, begynnelsevärdesproblem -18.1: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 17 ; 2.10: 29, 41, 43
växande och avtagane lösningar - 3.4:  9, 11, 23, 25, 29
ODE med separabla variabler och linjära ODE av första ordningen med variabla koefficienter:
7.9: 1, 3, 7, 11, 13, 15, 19, 21
V3_Ö6

Adams - Övning 3.2

Demo: linjära ODE av andra ordningen med konstanta koefficienter: 3.7: 4, 14, 3.7.24
inhomogena linjära ODE av andra ordning med konstanta koefficienter:  18.6: 4, 12 

 Rekommenderade uppgifter:
formulera och lös ODE för problem om tillväxt och avtagandet: 7.9: 32
beräkningar med komplexa tal: Appendix 1: 7, 13, 37. Appendix II: 27, 29
linjära homogena ODE av andra ordning med konstanta koefficienter: 3.7: 1, 3, 5, 7, 13, 15, 17, 25
inhomogena linjära ODE av andra ordning med konstanta koefficienter:   18.6: 3, 5, 7, 9, 11
V3_Ö7

Lay - Övning 3.3
Demo:
Kapitlar 1.1 och 1.2 studerades i Lp1 och är bra att repetera lite:
linjära ekvationssystem  1.1.18, Gauss elimination  - 1.2.4, 1.2.12 - kan tas för repetition om det behövs
vektorekvationer, linjär kombination av vektorer - 1.3: 8, 12, 1.3.17
 matrisekvationer, matris-vektorprodukt -1.4.18, 1.4.36
lösningsmängd - 1.5: 6, 12, 20  Välj ett av dessa exempel
balancera kemiska ekvationer - 1.6: 6

(Femte upplagan: -1.3: 8, 12, 1.3.17, 1.4.18, 1.4.26, 1.5: 6, 12, 16,  1.6: 6  )


Repetitionsuppgifter från första läsperioden:
linjära ekvationssystem, radoperationer - 1.1: 11, 15, 17, 24
Gauss elimination - 1.2: 1, 3, 7, 11, 15, 17, 21
Nytt material:
vektorekvationer - 1.3: 1, 3, 11, 13, 17, 23, 25
matrisekvationer, matris-vektorprodukt - 1.4: 1, 3, 7, 9, 11, 17, 25,36
lösningsmängd - 1.5: 5, 11, 17, 23, 29, 31
balancera kemiska ekvationer - 1.6: 5, 7

(Femte upplagan: du kan arbeta med samma uppgifter, men det numeriska värdet är annorlunda)
V4_Ö8

Lay - Övning 4.1 
Demo:  1.7: 14,  40, 1.8.16, 1.9: 8, 27

(Femte upplagan: 1.7: 14,  40, 1.8.16, 1.9: 8, 27 samma frågor, olika koordinater)
Rekommenderade uppgifter:
linjärt (o)beroende vektorer - 1.7: 1, 5, 7, 9, 21-24, 33-38, 39
 Suppplementary exercises - 1.1, 1.7
linjära transformationer, enentydiga avbildningar - 1.8: 3, 11, 21, 25, 31, 33
matrisen av linjär transformation  - 1.9: 1, 3, 7, 11, 17, 25, 27, 29, 35
V4_Ö9

Lay - Övning 4.2
Demo:    2.1: 6, 30, 2.2.28,  2.2.39,  2.3.6

(Femte upplagan: 2.1: 6,22,  2.2.18,  2.2.30, 2.3.6 samma uppgifter, olika numering)


Rekommenderade uppgifter:
matrisprodukt, addition och transponat - 2.1: 1, 3, 5, 11, 21, 23, 25, 27
matrisinvers för kvadratiska matriser - 2.2: 1, 5, 7, 13, 15, 19, 21, 23, 31, 33 ,35
kriterier för inverterbara kvadratiska matriser - 2.3: 1, 3, 11, 13, 17, 21
V5_Ö10

Lay - Övning 5.1
Demo:   2.8: 10, 34,   2.8: 40, 42,    2.9: 3,12, 29, 2.9.32

(Femte upplagan:    2.8.10, 2.8.26, 2.8.32, 2.8,34   2.9.3, 2.9.12, 2.9.20, 2.9.24 )


Rekommenderade uppgifter:
 underrum, bas, kolonnrum, nollrum, radrum för godtyckliga matriser-  2.8: 1, 2, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 25, 33, 35
koordinater, dimension och rank - 2.9: 3, 5, 7, 9, 11, 

13, 17, 2 (Femte upplagan: du kan arbeta med samma uppgifter, men det numeriska värdet är annorlunda)
V5_Ö11

Lay - Övning 5.2
Demo:  3.1.22, 3.2.22,  3.3: 6,28,  5.1: 6, 12, 5.1.31,  5.2.14, 5.2.18

(Femte upplagan: 3.1.20, 3.2.22,  3.3.6, 3.3.28,  5.1: 6, 12, 5.1.23,  5.2.14, 5.2.18: olika uppgifter med olika koordinater)


Rekommenderade uppgifter:
introduktion till determinanter - 3.1: 3, 9, 21, 23
egenskaper hos determinanter - 3.2: 1, 3, 7,  25, 27, 39
Cramers regel, volumer - 3.3: 3, 5, 11, 27
 egenvektorer och egenvärden - 5.1: 5, 7, 13, 15, 17, 25, 29, 31
karakteristisk ekvation  - 5.2: 1, 5, 9, 15, 21

(Femte upplagan: du kan arbeta med samma uppgifter, men det numeriska värdet är annorlunda)
V6_Ö12

Lay - Övning 6.1

Demo:  5.3: 8, 16,  5.7: 6, 12

(Femte upplagan:  5.3.8, 5.3.16, 5.7.6, 5.7.12 olika koordinater)


Rekommenderade uppgifter :
diagonalisering av matriser  5.3: 1, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 27
system av linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter - 5.7: 1, 3, 5, 7, 9, 11,13

(Femte upplagan: du kan arbeta med samma uppgifter, men det numeriska värdet är annorlunda)
V6_Ö13

Lay - Övning 6.2

Observera att denna övning flyttas till nästa vecka för K och Kf grupper!!!
Demo:
Inre (skalär) produkt, ortogonal projektion, ortogonala komplementet  6.2.10, 6.3.8, 6.3.12
Fredholms sats Sats 6.1.3 om lösbarheten av icke homogena linjära ekvationssystem.
Lös practice problem 3 i sektion 1.5, s. 56 med hjälp av Fredholms sats.
 Gram-Schmidts ortogonalisering 6.4.12

(Femte upplagan: olika koordinater)

Rekommenderade uppgifter:
Inre produkt, ortogonalitet, längden, ortogonal projektion -
6.1: 5, 7, 11, 15, 17,  27
6.2: 3, 5, 9, 11, 17, 21, 27, 29
6.3: 1, 3, 7, 9, 11, 15,
Fredholms sats Sats 6.1.3 om lösbarheten av icke homogena linjära ekvationssystem.
Lös två problem från gamla tentor HÄR. Man kan också öva med Fredholms sats genom att lösa problem 1.4.13-1.4.16
med att analysera Null(A^T) och dess relation med högerledet i systemet.
Gram-Schmidt ortogonalisering - 6.4:  5, 9

(Femte upplagan: du kan arbeta med samma uppgifter, men det numeriska värdet är annorlunda)
V7_Ö14

Lay - Övning 7.1
Demo:  6.5.12, 6.6.3, alternativt  kan man diskutera dessa typiska problem från gamla tentor.
diagonalisering av symmetriska matriser 7.1.20.

(Femte upplagan: olika koordinater)

Rekommenderade uppgifter:
minsta kvadrat metoden 6.5: 3, 5, 7, 9
tillämpningar av minsta kvadrat metoden 6.6: 1, 7, 9
spektralsatsen: diagonalisering av symmetriska matriser -
7.1: 1, 3. 5, 9, 11, 15, 1

(Femte upplagan: du kan arbeta med samma uppgifter,

men det numeriska värdet är annorlunda)
V7_Ö15

 Gamla tentor (repetition)

  Gamla tentor (repetition)

 

 

Tillbaka till toppen

Datorlaborationer

Vi kommer examinera labbarna på nätet med hjälp av en plattform som heter Möbius. Ni får gärna diskutera uppgifterna i par, men alla uppgifter ska redovisas individuellt i Möbius. På varje uppgift har ni 5 försök och varje försök är begränsat till 2 timmar. Uppgifterna kommer att finnas tillgängliga under två veckor från måndag till fredag. Om ni inte blivit klara med labbarna under den tiden kontaktar ni examinatorn och får en uppgift till.

Länkar till obligatoriska uppgifterna finns i slutet av kursens hemsida.

Som förberedelse till labbarna  skall studenter gå genom materialet HÄR .

Referenslitteratur för Matlab:

  1. Material utvecklat av MV som ger en kortfattad introduktion till Matlab
  2. Programmering med Matlab,  Katarina Blom. Ger en introduktion till Matlab och lär ut grunderna i programmering med Matlab. Rekommenderas varmt för dig som är nybörjare både vad gäller programmering och Matlab.
  3. Learning MATLAB, Tobin A. Driscoll. Ger en kortfattad introduktion till Matlab till den som redan kan programmera. Finns som e-bok på Chalmers bibliotek.
  4. Physical Modeling in MATLAB 3/E, Allen B. Downey
    Boken är gratis att ladda ner från nätet. Boken ger en introduktion för dig som inte programmerat förut. Den täcker grundläggande MATLAB-programmering med fokus på modellering och simulation av fysikaliska system.

 

Tillbaka till toppen

Referens till videos om Integration och olika begreppen (Students representanters förslag):

1.U-substitution

https://www.youtube.com/watch?v=b76wePnIBd

- Khan academy

 

2. Integration by parts:

Integration by Parts... How? (NancyPi)

 

3. Professor Leonards föreläsning

Calculus 1 Lecture 4.2: Integration by Substitution

4. 27/11/2020 Linear transformations

Home page: https://www.3blue1brown.com/

Matrices can be thought of as transforming space, and understanding how this work is crucial for understanding many other ideas that follow in linear algebra.

 

https://www.youtube.com/watch?v=kYB8IZa5AuE&vl=en

 

Duggor

Det finns totalt fyra duggor som är frivilliga men som rekommenderas varmt för att vara i fas i kursen och testa att man förstår materialet. Detaljerad information om dessa finns på en separat sida.

 

Tillbaka till toppen

Kurssammanfattning:

Datum Information Sista inlämningsdatum