Course syllabus

Kurs-PM

MVE030 Fourieranalys lp3 VT20 (6 hp) och MVE290 Fourier Metoder lp3 VT20 (7,5 hp)

Kursen ges av institutionen för Matematiska vetenskaper.

Kontaktuppgifter

Examinator/föreläsare/lärare:  Julie Rowlett, julie.rowlett@chalmers.se

 Julies hemsida (Länkar till en externa sida.)

Övningsledare:  Carl-Joar Karlsson, carljoar@chalmers.se

Erik Jansson, erikjans@chalmers.se

Mykola Pochekai, pochekai@chalmers.se

Jan Gundelach, jangund@chalmers.se

Kursutvärderare: 

F & TM: Josef Jörgensen josefjor@student.chalmers.se & Nicolas Söderberg nicolass@student.chalmers.se

Kf:  Hampus Brunander hampusbr@student.chalmers.se  &  Erik Wallin  erikwall@student.chalmers.se 

Kursens syfte

Kursen syftar till att föra in Fouriermetoder i programmet. Fouriermetoder är kraftfulla matematiska redskap för att lösa problem inom teknik och naturvetenskap.

Innehåll

Introduktion till variabelseparationsmetoden. Trigonometriska Fourierserier och deras
konvergens. Exempel på randvärdes- och begynnelsevärdesproblem för partiella differentialekvationer. Vågekvationen, värmeledningsekvationen samt Laplace och Poissons ekvationer.  Ortogonala funktionssystem och allmänna Fourierserier.  Bessels olikhet, Parsevals formel, fullständighet, Sturm-Liouvilles egenvärdesproblem. Variabelseparationsmetoden för lösning av partiella differentialekvationer. Olika metoder att lösa inhomogena problem. Fysikaliska exempel. Besselfunktioner. Lösning av problem i cylinder-koordinater. Ortogonalpolynom: Legendre- Hermite- och Laguerrepolynom. Lösning av problem i sfäriska koordinater. Fouriertransformer: räknelagar, faltning, Plancherels formel, tillämpningar på signalbehandling, samplingsteoremet. Tillämpning av
Fourier- och Laplacetransformer på partiella differentialekvationer. Diskreta Fouriertransformer, FFT-algoritmen.

Schema

Time Edit

Kurslitteratur

A journey through Fourier analysis – J. Rowlett.  Current version 2022.02.16.

PDEs and ODEs and systems for chemists – J. Rowlett.  Current version 2022.01.04.

Kursens upplägg

• Föreläsningar med aktiviteter!  
• Övningar med aktiviteter!
• Projekt (Kf) med aktiviteter!

Julies tipps för att lyckas i kursen:

1. Innan föreläsningar, läs snälla delar av boken som ska tas upp i föreläsningen.
2. Delta aktivt! Ställa frågor!  Det finns inga dumma frågor!
3. Gör övningar och komma till övningspass! Vi lär oss matematik igenom att göra matematik!  Precis som karate – man måste träna för att kunna!
4. Av den samma anledningen gör duggorna! Ni kan göra om så många gånger det behövs för att få rätt.  Det är ett bra tillfälle för att kolla vad är lättare/svårare för er.
5. Låt inte saker går förbi utan att förstå – ställa era frågor och komma till konsultationstider! Använd Piazza!   

   This term we will be using Piazza for class discussion. The system is highly catered to getting you help fast and efficiently from classmates, the TA, and myself. Rather than emailing questions to the teaching staff, I encourage you to post your questions on Piazza. If you have any problems or feedback for the developers, email team@piazza.com.

   Find our class signup link at: Link to Piazza

Grupper:  New `small exercise groups!'  The groups are as follows:  MVE290 (everyone registered in MVE290), TM (everyone in TM program), F1 (everyone in F program with last name starting with A-J), F2 (everyone in F program with last name starting with K-S), F3 (everyone in F program with last name starting with T-Ö). There will also always be the possibility to join digitally in case anyone wants to join but is experiencing some symptoms.  Please stay home in case of any symptoms and note that the teaching team will also follow this important recommendation!  

OBS!  Kf studenter har en egen 1,5 del av kursen.  Ni har 3 tillfälle under v3.

Program

V3.  Demo exercises: Small groups: Ch. 1.6 #1 – 4.

Recommended exercises:  Ch. 1.6 #5 – 8.

Dugga 1 is open!

Jan. 17 Group A:  Rock and roll, the wave equation on a bounded interval, read book Preface and Chapter 1.

Kf: Jan. 17, 13.15, classifying PDEs and ODEs and group work.  Jan. 19, 15.15, group work.  Jan. 20, 10:00 presentations!  There will also be a hand-in at the end of the course. 

Jan 19 Group B:  The rings of Saturn and hot rods.  Read book Chapter 1.

Jan 19 Exercise rooms & groups:  EE Group 1,  EB Group 2, MA Group 3. OBS! Grupp 2 pga sjukdom ska ni till EB och sedan grupp ledare snälla ansluta till zoom länken till EE eller MA.  Ni kan använda EBs utrustning för att ha demonstrationen på skärmen och använda rummets ljud system.  OBS!  Grupp 1 pga sjukdom ska ni till EE och sedan grupp ledare snälla ansluta till zoom länken till MA.  Ni kan använda EEs utrustning!

Jan 21 Group A:  Don’t get lost in a Hilbert space, find your way with an orthogonal base!  Read book Chapter 2.1 – 2.2.

Jan 21 Exercise rooms & groups:  EB Group 4, EE Group 5.

V4.   Demo exercises:  Big Group  A:  Ch. 2.8 #1 – 4.  Small group:  Ch. 2.8 #5 – 8. 

Recommended exercises: Ch. 2.8 #9 – 17.  

Jan 24 Group B:  An infinite dimensional Hilbert space, Bessel’s inequality, and Fourier series.  Read book Chapter 2.3.

Jan 26 Exercise rooms & groups: MA Group 6, ML11 Group 7, ML13 Group 8. 

Jan 26 Group A:  The best approximation theorem for Fourier series and applications.  Read book Chapter 2.4 – 2.6.

Dugga 1 due by midnight January 27. 

Dugga 2 opens January 28.

Jan 28 Exercise rooms & groups:  ML13 Group 9, ML14 Group 2.  

Jan 28 Group B:  SLPs are dwelling places for orthogonal bases of Hilbert spaces!  The spectral theorem for SLPS and applications to rock and roll, rings of Saturn, and hot rods.  Read book Chapter 3.1 – 3.3. 

V5.   Demo exercises:  Big Group  B:  Ch. 3.8 #1 – 4.   Small group:  Ch. 3.8 #5 – 8.

Recommended exercises: Ch. 3.8 #9 – 14.

Jan 31 Group A:  The abc’s of SLPs and examples.  Read Chapter 3.4 – 3.6. 

Feb 01 Group B:  Math is like a martial art; master it with efforts from the heart! Solving PDEs.  Read Chapter 4.1 – 4.2.

Feb 01 Exercise rooms & groups:  EA Group 1, MB Group 3. 

Feb 02 Group A:  Math is like a martial art; master it with efforts from the heart! Solving PDEs.  Read Chapter 4.3 – 4.4. 

Feb 02 Exercise rooms & groups:  EB Group 4, EC Group 5, MA Group 6. 

Feb 04 Group B:  Trigonometric Fourier series taste great if we remember to copy paste; they make pi fall out of the sky.  Read Chapter 5.1 – 5.2.

Dugga 2 due by midnight Feb 6.

V6.  Demo exercises:  Big Group  A:  Ch. 4.6 #1 – 3.   Small group:  Ch. 4.6 #4 – 5 and Ch. 5.9 #1, 3.

Recommended exercises: Ch. 4.6 #6 – 7, and Ch. 5.9 #4, 9, 11, 13, 16.

Dugga 3 opens February 7.

Feb 07 Group A:  Pointwise convergence of trigonometric Fourier series.  Don’t let your work go to waste; with Fourier series just copy-paste! Read Chapter 5.3 – 5.4.

Feb 09:  Differentiating and integrating Fourier series.  Fourier sine and cosine series and Fourier series on arbitrary intervals. Read Chapter 5.5 – 5.7.

Feb 09 Exercise rooms & groups:  MA MVE290, MB F1, MC F2. 

Feb 11:  Bessel functions are lots of fun; their zeros describe a vibrating drum!  Read Ch. 6.1 – 6.2.

Feb 11 Exercise rooms & groups: MA TM, ML11 F3. 

V7.   Demo exercises:  Big Group:  Ch. 6.6 #1-3.   Small group:  Ch. 6.6 # 4-6. 

Recommended exercises: Ch. 6.6 #7-12. 

Feb 14:  Bessel functions can help you bake:  pizzas, pies, and also cake!  Read Ch. 6.3 – 6.4.

Feb 16:  Polynomials are special cases of orthogonal bases for Hilbert spaces!  Read Ch. 7.1-7.2.

Feb 16 Exercise rooms and groups:  EB MVE290, EE F1, MA TM.

Dugga 3 is due by midnight Feb. 17. 

Dugga 4 opens Feb. 18. 

Feb 18:  Orthogonal polynomials may win the race for the best base in a Hilbert space.  Read Ch. 7.3-7.5.

Feb 18 Exercise rooms and groups:  MA F2, ML13 F3. 

V8.   Demo exercises:  Big Group:  Ch. 7.7 #2-4.   Small group:  Ch. 8.11 #1, 2, 5, 7.

Recommended exercises: Ch. 7.7 #5, 6 and Ch. 8.11 #3, 4, 6, 8.

Feb 21:  When a solution needs to be found, transform the problem into sound! The Fourier transform, convolution, and applications.  Read Ch. 8.1 – 8.3.

Feb 23:  A convolution could be the solution.  The convolution approximation theorem, also known as the CAT.  Read Ch. 8.4 – 8.5.

Feb 23 Exercise rooms and groups:  EC MVE290, EE F1, MA F2.

Feb 25:  The heat equation is no match for the cat in the hat who is ready to attack!  Read Ch. 8.6. 

Feb 25 Exercise rooms and groups:  EB TM, EE F3. 

V9.   Demo exercises:  Big Group:  Ch. 8.11 #9-12.   Small group:  Ch. 8.11 #13, 14. 

Recommended exercises: Ch. 8.11 #15-20, Ch. 9.5 #3-6.

Feb 28 Group:  Fourier sine and cosine transform.  More PDEs under attack by the cat in the hat  Read Ch. 8.7 – 8.8. 

Feb 28 Exercise rooms and groups:  EA MVE290, EC F1, EE TM. 

Dugga 4 due by midnight Feb 28.

Dugga 5 opens March 1.

Mar 1:  The Laplace transform can be applied if we stay on the heavy side.  Read Ch. 9.1 – 9.2.

Mar 2 Exercise rooms and groups:  EB F2, EE F3 

Mar 4: The Laplace transform can be applied if we stay on the heavyside; applications to solving PDEs.  Read Ch. 9.2 – 9.3.

V10.   Study for the exam.

Mar 7: The sampling theorem, discrete and fast Fourier transform.  Read Ch. 8.9.  

Mar 9: Review

Dugga 5 due by midnight March 11.

Varning för schemaändringar!

Förändringar sedan förra kurstillfället

Ordning i boken samt material har uppdaterats så att de har en förhoppningsvis bättre logisk ordning.    

Hjälpmedel på tentamen:  kursboken, miniräknare, Beta mathematics handbook.    

Lärandemål

Efter avslutad kurs kommer studenten att kunna:

1. Lösa partiella differentialekvationer genom att använda såväl variabelseparation som Fourier- och Laplace-transformer.
2. Konstruktivt tillämpa ett urval av metoderna hilbertrum, ortogonala system, egenfunktioner och Fourierserieutvecklingar, egenfunktionsutvecklingar med Sturm-Liouville-problem, Besselfunktioner eller ortogonala polynom för att lösa partiella differentialekvationer, beräkna summor och integraler, och approximera funktioner. 
3. Bestämma vilken metod som bäst lämpar sig för att lösa ett problem, baserat på problemets fysikaliska och geometriska egenskaper och karaktär.

MVE 290 7,5 hp versionen av kursen kommer att dessutom kunna:

1. Klassificera partiella och ordinära differentialekvationer och bestämma vilken metod som bäst lämpar sig för att lösa en ekvation baserat på dess klassificeringen.
2. Identifiera några specifika exempel på tillämpningar av Fouriermetoder och motivera hur Fouriermetoder används för att skapa värde i samhället.  

Examination

Digital examination på Campus med Inspera. Läs här:

https://student.portal.chalmers.se/sv/chalmersstudier/tentamen/Sidor/Digital-tentamen.aspx

80 poäng totalt.  40 uppgifter, 2 poäng per uppgift. 

Hjälpmedel:  kursboken, miniräknare, Beta mathematics handbook. 

Man får inte kommunicera med någon annan under tentamen förutom examinatorn i fall man har någon fråga. 

Betyg skala:  minst 40p för 3, minst 53 för 4, minst 67 för 5. 

Det kommer att vara 5 duggor i format av Canvas Quiz under kursens gång.  Ni får obegränsat försök på duggorna under tiden då de är öppna.  (Do it until you get it right!)  Varje 100% korrekt dugga ge 1 bonus poäng:  duggan blir är allt eller inget (1p eller 0p).  Bonuspoäng läggs till sluttentan.  Då sluttentan kommer också att bli i form av en Canvas Quiz ses duggorna som förberedning till sluttentan.  Practice makes perfect.

MVE 290 1,5 hp projekt:

1. I första hälften av det första tillfallet, 17:e januari, ska man lära sig att klassificera alla PDE och ODE. 
2. I andra hälften av tillfallet 17:e januari delar vi upp i grupper (ca 4 studenter per grupp).  Projekt 1 är att identifiera några specifika exempel på tillämpningar av Fouriermetoder och motivera hur Fouriermetoder används för att skapa värde i samhället.  Målet är en en-sidig reklam för Fourier Metoder som ska presenteras vid tillfället 20:e januari.  Vi ska använda tiden 14.15-15.00 januari 17 samt 15.15-17.00 för grupparbetet.
3. Ni ska presentera era reklam till varandra 20:e januari.
4. Sista projektet är en flowchart eller mindmap ni ska göra i era grupper som visar vägen framåt när man träffar en PDE eller ODE. Det görs mellan 7:e mars och 25:e mars.  Då får ni organisera hela metoderna ni har lärt under kursen för att kunna hantera PDEs (samt ODEs från tidigare kurser).  

Kursplan i Studieportalen: Link till kursplan