MVE025 Komplex matematisk analys
Kurs-PM
Här är andra omtentan samt lösningsförslag.
Här är första omtentan samt lösningsförslag.
Här är ordinarie tentan samt lösningsförslag.
Observera att detta är den gemensamma Canvas-sidan för kurserna MVE025 och MVE295.
På denna sida finns programmet för kursen: föreläsningar och räkneövningar. Övriga uppgifter, såsom t.ex. kursmål, lärare, kurslitteratur och examination, finns i ett separat kurs-PM.
I kursen MVE295 ingår också ett delmoment på 1.5 p , 'Vektoranalys för KF och TM'. Det momentet leds av Måns Henningson och omfattar sex föreläsningar.
OBS! Hemuppgifterna som listas i kurssammanfattningen nedan hör till delmomentet 'Vektoranalys för KF och TM'.
Tips
Vill man veta mer om de komplexa talens historia rekommenderar jag An Imaginary Tale av Paul J. Nahin.
Komplex analys dyker upp på många oanade ställen. Det mest kända olösta matematiska problemet är utan tvekan Riemannhypotesen. Dess lösning skulle ge stora insikter om primtalens fördelning, men problemet är faktiskt formulerat i termer av komplex analys. För den som är intresserad kan jag rekommendera en bra video (länk här) om problemet och dess historia på den utmärkta youtubekanalen Numberphile, samt boken Music of the primes av Marcus Du Satoy. Se också gärna denna youtubevideo som ger en visuell beskrivning av Riemanns zetafunktion, och som därför knyter an fint till kursen.
Komplex analys kommer också in på ett cetralt sätt i Andrew Wiles bevis av Fermats stora sats, formulerad av Pierre de Fermat 1637 men bevisad först 1995. Detta kan ha varit förra århundradets mest uppmärksammade matematiska genombrott. Historien bakom satsen och dess bevis är beskrivna på ett tillgängligt sätt i Fermats gåta av Simon Singh.
Fourieranalys är otroligt användbart! Fourieranalys ligger till grund för datortomografi (CAT scan) samt magnetisk resonanstomografi (MRI) (se länk här till artikel om detta). En annan väldigt viktig användning är vid röntgenkristallografi. Alla borde verkligen läsa James D Watsons (korta och lättlästa) bok The Double Helix : A Personal Account of the Discovery of the Structure of DNA, där han beskriver hur han och Francis Crick år 1953 lyckades fastställa DNAs tredimensionella struktur med hjälp av just röntgenkristallografi.
Vill man få en intuitiv inblick i den moderna matematik (däribland komplex analys) som används inom teoretisk fysik så kan jag rekommendera The Road to Reality av Roger Penrose (finns att låna på Chalmers bibliotek). Penrose är en av världens främsta matematiska fysiker, och fick 2020 års Nobelpris i fysik “for the discovery that black hole formation is a robust prediction of the general theory of relativity”.
Här är Viktor Liljas Sverigekarta:
Program
Kursens schema finns i TimeEdit.
Föreläsningar
Obs! Hur långt jag hinner på en given föreläsning varierar från år till år, så upplägget nedan är ungefärligt!
| Dag | Avsnitt | Innehåll |
|---|---|---|
| 29/8 | 1.1-1.4 | Introduktion. Komplexa tal. Komplexa talplanet. Polär form. De Moivres formel. Komplexa konjugatet. Olikheter. |
| 30/8 | 2.1-2.2, 2.4 |
Topologi i planet. Komplexa funktioner. Holomorfa funktioner. Cauchy-Riemanns ekvationer. |
| 31/8 | 2.3, 3.4 |
Fort. Cauchy-Riemanns ekvationer. Konsekvenser av CRs ekvationer. Exponentialfunktionen. Trigonometriska funktioner. |
| 5/9 | 3.5, 3.1-3.2 |
Komplexa logaritmer. Konforma avbildningar. Möbiusavbildningar. |
| 6/9 | 4.1 |
Forts. Möbiusavbildninar. Kurvintegraler. |
| 7/9 | 4.3-4.4 |
Forts. integraler. Homotopi mellan slutna kurvor. Cauchys sats. |
| 12/9 | 4.4, 5.1 |
Cauchys integralformel. Cauchys integralformel för derivator. |
| 13/9 | 5.3, 4.2, 5.2 |
Liouvilles sats. Algebrans fundamentalsats. Beräkning av reella integraler. |
| 14/9 | 4.2, 5.2, 6.1-6.2 |
Primitiva funktioner. Moreras sats. Harmoniska funktioner. Det harmoniska konjugatet. |
| 19/9 | 6.2 |
Medelvärdessatsen. Maximumprincipen. Maximummodulusprincipen. |
| 20/9 | 7.1-7.4, 8.1 |
Likformig konvergens av funktionsföljder och funktionsserier. Potensserier. Konvergensradier. Konvergenskriterier. Potensserier är holomorfa. |
| 21/9 | 8.1-8.2 |
Taylorutveckling av holomorfa funktioner. Faktorsatsen. Klassifikation av nollställen. |
| 26/9 | 8.2-8.3 |
Identitetsprincipen. Laurentserier. Laurentserieutveckling av holomorfa funktioner. |
| 27/9 | 8.3, 9.1, Residypdf |
Forts. Laurentserieutveckling. Isolerade singulariteter. Klassifikation av singulariteter. |
| 28/9 | 9.1-9.2, Residypdf |
Forts. Klassifikation av singulariteter. Residyer. Enkla kurvor och Jordans kurvsats. Residysatsen. Beräkning av residyer. |
| 4/10 | 9.2, Residypdf |
Forts. residyer. Beräkning av reella integraler. |
| 5/10 | 9.3, Residypdf |
Argumentprincipen. Rouchés sats. |
| 10/10 | Fourierpdf |
Fouriertransformen. Inversionsformeln för FT. Parsevals formel. Egenskaper hos FT. |
| 11/10 | Fourierpdf |
Faltning och FT. Lösa diffekvationer mha FT. Laplacetransformen. Inversionsformeln för LT. Egenskaper hos LT. Faltning och LT. Lösa diffekvationer mha LT. Stabilitet hos kontinuerliga linjära system. |
| 12/10 | Fourierpdf |
Z-transformen. Faltning och ZT. Lösa differensekvationer mha ZT. Stabilitet hos diskreta linjära system. |
| 17/10 |
Repetition. |
|
| 18/10 |
Repetition. |
|
|
19/10 21/10 |
Repetition. Genomgång av bl.a. Z-transform. |
Storgruppsövningar
Var fjärde schemalagd föreläsning är i själva verket en storgruppsövning där jag presenterar lösningar på diverse uppgifter inför hela klassen.
Rekommenderade övningsuppgifter
Räkna så många övningar som möjligt, även bland de som inte står på listan!
| Vecka | Uppgifter |
|---|---|
| 1 | Kap 1: 1bcd, 2abcd, 3bd, 4cfh, 8ab, 9, 10, 11ac, 22, 23bdfg, 24, 25, 26, 27abcdef, 29, 33. Kap 2: 15, 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26. |
| 2-3 |
Kap 3: 5, 9, 13, 14abc, 17, 18, 21abc, 31a, 33, 39, 41cde, 45ab, 51. Räkna också gärna: Kap 4: 5c, 8ace, 25, 27, 34, 35, 36. |
| 3-4 | Kap 5: 1acd, 2, 3aegi, 11, 14, 15, 16, 18, 20. Kap 6: 4, 7, 9, 11, 13. |
| 4-5 |
Kap 7: 5, 12, 18, 25abc, 26, 27, 28ab, 29, 30, 33bce, 34bc, 35. Räkna också gärna: Kap 8: 3, 5, 20, 21, 22, 25, 29, 38. |
| 5-6 | Kap 9: 1, 2, 5abcd, 6, 7de, 8cd, 9, 11, 14, 15, 17,18, 21abc. |
| 6-7 | Alla övningar i Residypdf. Alla övningar i Fourierpdf. Gamla tentor. |
| 7-8 | Gamla tentor. |
Räkneövningar
Schemat för räkneövningarna i år är tyvärr ganska oregelbundet, så kolla ordentligt på TimeEdit! Under första halvan av övnigspasset demonstrerar övningsledarna lösningar av valda uppgifter, medan man under andra halvan får räkna själv, och övningsledarna kan hjälpa och svara på frågor.
Övningsledarna i år är: Rolf Andreasson (FL51/KS11), Rahim Nkunzimana (FL61/FL71/KS31) och Ludvig Svensson (FL72/KS41).
En högst preliminär lista av övningar som demonstreras är:
Repetitionsquiz
Under repetitionsgenomgången kommer vi inleda varje 45-minutare med ett repetitionsquiz, som kommer testa er på teori och konceptuell förståelse. Dessa kommer delas ut vid tillfället, men jag kommer efteråt också lägga ut dem som pdf här under. Istället för ett regelrätt facit kommer jag också länka till en elektronisk variant av quizet, där man, om man fyller i sina svar, får se vilka uppgifter man svarat rätt på. Här ingår dock inte teoriuppgifterna, där hittar man ju facit i föreläsningsanteckningarna.
Frågor
Ställ gärna era frågor i samband med föreläsning eller övning, eller på Yata (se nedan), men helst inte via mejl. Frågor om specifika övningsuppgifter ställs med fördel på övningar eller på Yata.
Yata
I år kommer vi istället för Piazza använda Yata som diskussionsforum för kursen. Där kan man ställa och svara på frågor om övningar och föreläsningsinnehåll. Tanken är att ni studenter ska svara på varandras frågor, medan jag lite mindre frekvent kommer svara på frågor som lämnats obesvarade.
För att komma till kursens Yata-sida så klickar man på Yata i navigationsfältet till vänster på Canvassidan.
SI-pass
För studenter som går Kf kommer det som vanligt hållas SI-pass. Mer information om dessa kommer snart.
Kurssammanfattning:
| Datum | Information | Sista inlämningsdatum |
|---|---|---|