MVE670 Linjär algebra H22

Hoppa fram till i dag

Här är tentan från den 21 augusti 23 med lösningar.

Här är tentan från den 3 januari 23 med lösningar. 

Här är tentan från den 22 oktober 22 med lösningar. 

 

Kurs-PM

På denna sida finns allmän information inklusive program för föreläsningar och räkneövningar. Övriga uppgifter, såsom t.ex. kursmål, lärare, och examination, finns i ett separat kurs-PM.

 

Lärare

Kursansvarig: Elizabeth Wulcan

Övningsledare: Oscar Carlsson (grupp F1, F3), Hampus Renberg Nilsson (grupp F2, F4), Linnea Hallin (grupp TM1, TM2) 

Studentrepresentanter: Gustav Fixell (cid: fixell) och Einar Schoon (cid: schoon) 

 

Kurslitteratur

Gunnar Sparr: Linjär algebra, andra upplagan, Övningar i Linjär algebra, nionde upplagan, [S].

Arne Persson, Lars-Christer Böiers: Analys i en variabel, Tredje upplagan. Appendix A (samma bok som används i Inledande Matematisk Analys TMA970), Övningar i Analys i en variabel, sjätte upplagan, [PB].

Uppgifter - minsta kvadratmetoden: del 1, del 2 (tentor), [MK]

Utdrag ur Kjell Holmåker: Linjär algebra med tillämpningar, [H].

Utdrag ur Problemsamling i linjär algebra, Matematiska institutionen, Göteborg, [Pr].

Här och här finns några uppgifter i geometri (i dim n) för den intresserade.

Här och här finns extra material om ortogonal projektion respektive avstånd för den intresserade.

Här finns anteckningar om baser och koordinater.

Här finns lite anteckningar om algebraiska strukturer (grupper, ringar, kroppar, vektorrum, algebror) för den intresserade.

Här finns (extra) material om minsta kvadratmetoden för den intresserade.

Här finns en extra uppgift om linjära avbildningar för den intresserade.

Här finns ett bevis för att determinanten är multiplikativ.

 

Schema

Kursens schema finns i TimeEdit.

På tisdagar läsvecka 1-4 är det övning  kl 8.00 - 9.45 i FL71 (F3), FL72 (F4), FL73 (TM1) och kl 10-11.45 i FL51 (F1), FL52 (F2), FL64 (TM2). 

På tisdagar läsvecka 5-8 är det övning  kl 8.00 - 9.45 i FL71 (F3), FL72 (F4), FL73 (TM1) och kl 10-11.45 i FL61 (F1), FL62 (F2), FL63 (TM2).

 

Program

Föreläsningar

Dag Avsnitt Innehåll
Fö 1 29/8 Introduktion, linjära ekvationsssystem, gausselimination. S: 1.1-3
Fö 2 31/9 Vektorer: definitioner, räkneregler. S: 2.1-2,2.4
Fö 3 31/9 Linjärkombination, linjärt beroende, bas. S: 2.3-4
Fö 4 2/9 Baser och koordinater, koordinatsystem. S: 2.3, 3.1
Fö 5 5/9 Skalärprodukt, ortogonalitet, ortogonal projektion. S: 4.1-2
Fö 6 7/9 Vektorprodukt (kryssprodukt), skalär trippelprodukt. S: 5.1-4
Fö 7 8/9 Vektorprodukt i HON-bas. Linjer och plan. S: 3.2-4, 4.3, 5.5
Fö 8 9/9 Geometri i planet och rummet. S: 4.3, 5.5
Fö 9 12/9 .\(\mathbb R^n\) R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n \(\mathbb R^n\) R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n R n \(\mathbb R^n\) R n
n R.		 S: 6.1-4
Fö 10 14/9 Matriser: definitioner, räkneregler, transponat. S: 7.1-3
Fö 11 15/9 Matriser och linjära ekvationssystem, kolonnrum, nollrum, rang, nolldimension. S: 7.4, 7.7
Fö 12 16/9 Linjära ekvationssystem, invers. S: 7.5
Fö 13 19/9 Linjära ekvationssystem, invers, fortsättning. S: 7.2
Fö 14 21/9 Minsta kvadratmetoden, linjära avbildningar. S: 7.8 + MK, 8.1-2
Fö 15 22/9 Linjära avbildningar, avbildningsmatris, injektivitet, surjektivitet, inverterbarhet, isometrier. S: 7.6, 8.1-2, 8.4
Fö 16 23/9 Linjära avbildningar, basbyten. S: 2.5, 7.6, 8.4-5
Fö 17 26/9 Determinanter: definition, geometrisk tolkning. S: 9.1-2, 9.7, 9.9
Fö 18 27/9 Determinanter: egenskaper, räkneregler. S: 9.3, 9.6, 9.9
Fö 19 28/9 Beräkna determinanter: utveckling efter rad/kolonn, adjunkt. Determinanter och rang. S: 9.4-5, 9.9
Fö 20 29/9 Komplexa tal: räkneregler, exponentialfunktionen. PB: A.1-7
Fö 21 30/9 Polynomekvationer. PB: A.8-10
Fö 22   3/10 Egenvärden och egenvektorer. S: 10.1-2
Fö 23   3/10 Diagonalisering. S: 10.3
Fö 24   6/10 Diagonaliserbara matriser, symmetriska matriser, spektralsatsen. S: 10.3
Fö 25 10/10 Spår, determinant och egenvärden. Tillämpningar.  S: 10.4
Fö 26 12/10 Vektorrum: definition, exempel, underrum. H: s 2-6
Fö 27 13/10 Linjärt beroende, bas, dimension. Linjära avbildningar. H: s 8-11, 43-44
Fö 28 13/10 Skalärprodukt, ortogonalitet.  H: s 28-29, 31-32
Fö 29 14/10 Repetition.
Fö 30 17/10 Frågestund.
23/10 Tentamen.

 

Tillbaka till toppen

Övningsuppgifter

Dag Demonstration Förslag på uppgifter för självverksamhet att välja bland

30/8

S: 1.3, 4, 18

S: 1.1-2, 5, 7, 8-10, 12, 15-16, 19, 22-23

6/9

S: 2.10, 19.b,d

S: 3.3.a           

S: 4.1.a,b 

S: 2.1, 3-8, 11-12, 17-18, 20-21, 27, 29  

S: 3.2-4

S: 4.1.c-e, 2-4, 9, 10.a, 12-13, 16 

13/9

S: 3.5.c, 6.c, 14.a

S: 4.26

S: 5.5

S: 6.2-3.a, 4-5.b,c 

S: 3.5.b,d, 6.b,d, 8, 9.b, 10.b, 11.a, 12, 14.b, 15-16, 18.b, 20, 23, 28-29

S: 4.18.a, 19, 25.b,c, 27, 30, 32-33, 39-40, 42, 45

S: 5.1-3, 6, 8-12, 15, 18, 21, 24

S: 6.1, 2.b,c, 3.b,c, 4-8, 10, 12-13 

20/9

S: 7.1.a, 2.b,c, 5.a, 9.b, 23.f, 25

S: 7.1-3, 5-6, 7.b, 8, 9.c,d, 10, 12-13, 23.a-d, 24, 26-28, 32, 34, 36

27/9

MK: del 1.3

S: 2.26

S: 7.15.a

S: 8.7, 24

 

MK: del 1.1-2, 4 + valfri uppgift från del 2

S: 2.25, 28

S: 7.15.b,c, 16-17, 19

S: 8.2, 5-6, 8, 10-12, 17-20, 25, 29-31, 40-42

S: 9.1-6, 8-9

4/10

S: 9.19, 21.a, 35, 54

PB: A.13, 39.b, 41.b. 

S: 10.3.c

S: 9.10-13, 18-20, 22.a, 23, 25-26, 28, 31-34, 37, 39, 42, 44, 46, 49, 52

PB: A.4.c,f, 5, 12.d,g,f, 14-15, 18.c,g, 20.c, 22, 25, 27-28, 34.a-c, 37, 39.a, 41, 43, 46, 49

S: 10. 1-2, 3.b,d,f, 4.b,c,e, 5, 8-9 

11/10

 S: 10.12.c, 16, 17 S: 10.10, 12.b,d,f, 15, 18, 21, 23, 26, 29
18/10

Pr: 2, 6.c,d, 22.b, 55, 96

Pr: 3, 4, 6.a,e,f, 20.c, 21, 22.a, 23, 51, 53, 97, 130

 

Kurskrav

Kursens syfte och lärandemål finns angivna i kursplanen.

Vid tentamen ska man kunna definiera, förstå och kunna använda alla begrepp och funktioner som ingår i kurslitteraturen. Alla satser som ingår ska kunna formuleras och användas vid problemlösning.

Minst en av teorifrågorna kommer bygga på nedanstående lista (om inget annat står syftar sats- och sidnummer på [S]). Ni skall kunna definitionerna och kunna bevisa satserna i listan (om det inte uttryckligen står annat.) Bevisen ni skall kunna kommer att gås igenom på föreläsningarna. Behandlat material kommer att markeras grönt.

  • Definition av linjärt beroende / linjärt oberoende, Definition 4, s 33, och Sats 5, s 36 (dimension 2, 3) (Föreläsning 31/8) samt Definition 3 och Sats 2, s 100 (dimension n) (Föreläsning 12/9).
  • "Bassatsen": Sats 4 s 34-35, Kapitel 2.3 (dim 2 och 3), Sats 3, s 103 (dim n) (Föreläsning 12/9). 
  • Lemma 1, s 28 (dim 1), Sats 2, s 29 (dim 2), Sats 3 s 30 (dim 3), se även här (Föreläsning 2/9).
  • Definition av skalärprodukt av geometriska vektorer, Definition 1, s 63 (Föreläsning 5/9). 
  • Existens av ortogonal projektion se s 1-3 här och även Sats 1, s 65 (Föreläsning 6/9). 
  • Definition av vektorprodukt, Definition 2, s 85 (Föreläsning 7/9).
  • Definition och geometrisk tolkning av skalär trippelprodukt, Definition 3, s 85 och Sats 2, s 86 (Föreläsning 7/9). 
  • Associativa lagen för matrisprodukt Sats 1(iv), (rad 1), s 121 (Föreläsning 14/9).
  • Entydighet av invers, Lemma 2, s 129 (Föreläsning 16/9).
  • Förändring av koordinater vid basbyten, Sats 6, s 137 (Föreläsning 23/9).
  • Minsta kvadratmetoden, s 155-156, see även Proposition 1 här (Föreläsning 21/9).
  • Sats 1, s 166 (Föreläsning 22/9).
  • Determinantens definition, Definition 4, s 224 (Föreläsning 26/9).
  • Sats 3, s 255 (Föreläsning 6/10).
  • Lemma 2, s 256 (Föreläsning 6/10).
  • Sats 7, s 259 (Föreläsning 10/10).
  • Definition av vektorrum, [H] Definition 1.1, s 2 (Föreläsning 12/10).
  • Definition av skalärprodukt och inre produktrum, [H] Definition 2.1, s 28 (Föreläsning 13/10).

 

Gamla tentor

Observera att tentorna till och med augusti 2021 är i den tidigare kursen TMA660 som täckte materialet i Fö1-21. Egenvärden och egenvektorer samt allmänna vektorrum ingick tidigare i kursen Linjär algebra och numerisk analys (TMA971 och TMA972). 

 

Kurssammanfattning:

Datum Information Sista inlämningsdatum