MVE670 Linjär algebra H22
Här är tentan från den 21 augusti 23 med lösningar.
Här är tentan från den 3 januari 23 med lösningar.
Här är tentan från den 22 oktober 22 med lösningar.
Kurs-PM
På denna sida finns allmän information inklusive program för föreläsningar och räkneövningar. Övriga uppgifter, såsom t.ex. kursmål, lärare, och examination, finns i ett separat kurs-PM.
Lärare
Kursansvarig: Elizabeth Wulcan
Övningsledare: Oscar Carlsson (grupp F1, F3), Hampus Renberg Nilsson (grupp F2, F4), Linnea Hallin (grupp TM1, TM2)
Studentrepresentanter: Gustav Fixell (cid: fixell) och Einar Schoon (cid: schoon)
Kurslitteratur
Gunnar Sparr: Linjär algebra, andra upplagan, Övningar i Linjär algebra, nionde upplagan, [S].
Arne Persson, Lars-Christer Böiers: Analys i en variabel, Tredje upplagan. Appendix A (samma bok som används i Inledande Matematisk Analys TMA970), Övningar i Analys i en variabel, sjätte upplagan, [PB].
Uppgifter - minsta kvadratmetoden: del 1, del 2 (tentor), [MK]
Utdrag ur Kjell Holmåker: Linjär algebra med tillämpningar, [H].
Utdrag ur Problemsamling i linjär algebra, Matematiska institutionen, Göteborg, [Pr].
Här och här finns några uppgifter i geometri (i dim n) för den intresserade.
Här och här finns extra material om ortogonal projektion respektive avstånd för den intresserade.
Här finns anteckningar om baser och koordinater.
Här finns lite anteckningar om algebraiska strukturer (grupper, ringar, kroppar, vektorrum, algebror) för den intresserade.
Här finns (extra) material om minsta kvadratmetoden för den intresserade.
Här finns en extra uppgift om linjära avbildningar för den intresserade.
Här finns ett bevis för att determinanten är multiplikativ.
Schema
Kursens schema finns i TimeEdit.
På tisdagar läsvecka 1-4 är det övning kl 8.00 - 9.45 i FL71 (F3), FL72 (F4), FL73 (TM1) och kl 10-11.45 i FL51 (F1), FL52 (F2), FL64 (TM2).
På tisdagar läsvecka 5-8 är det övning kl 8.00 - 9.45 i FL71 (F3), FL72 (F4), FL73 (TM1) och kl 10-11.45 i FL61 (F1), FL62 (F2), FL63 (TM2).
Program
Föreläsningar
Dag | Avsnitt | Innehåll | |
---|---|---|---|
Fö 1 | 29/8 | Introduktion, linjära ekvationsssystem, gausselimination. | S: 1.1-3 |
Fö 2 | 31/9 | Vektorer: definitioner, räkneregler. | S: 2.1-2,2.4 |
Fö 3 | 31/9 | Linjärkombination, linjärt beroende, bas. | S: 2.3-4 |
Fö 4 | 2/9 | Baser och koordinater, koordinatsystem. | S: 2.3, 3.1 |
Fö 5 | 5/9 | Skalärprodukt, ortogonalitet, ortogonal projektion. | S: 4.1-2 |
Fö 6 | 7/9 | Vektorprodukt (kryssprodukt), skalär trippelprodukt. | S: 5.1-4 |
Fö 7 | 8/9 | Vektorprodukt i HON-bas. Linjer och plan. | S: 3.2-4, 4.3, 5.5 |
Fö 8 | 9/9 | Geometri i planet och rummet. | S: 4.3, 5.5 |
Fö 9 | 12/9 | \(\mathbb R^n\) |
S: 6.1-4 |
Fö 10 | 14/9 | Matriser: definitioner, räkneregler, transponat. | S: 7.1-3 |
Fö 11 | 15/9 | Matriser och linjära ekvationssystem, kolonnrum, nollrum, rang, nolldimension. | S: 7.4, 7.7 |
Fö 12 | 16/9 | Linjära ekvationssystem, invers. | S: 7.5 |
Fö 13 | 19/9 | Linjära ekvationssystem, invers, fortsättning. | S: 7.2 |
Fö 14 | 21/9 | Minsta kvadratmetoden, linjära avbildningar. | S: 7.8 + MK, 8.1-2 |
Fö 15 | 22/9 | Linjära avbildningar, avbildningsmatris, injektivitet, surjektivitet, inverterbarhet, isometrier. | S: 7.6, 8.1-2, 8.4 |
Fö 16 | 23/9 | Linjära avbildningar, basbyten. | S: 2.5, 7.6, 8.4-5 |
Fö 17 | 26/9 | Determinanter: definition, geometrisk tolkning. | S: 9.1-2, 9.7, 9.9 |
Fö 18 | 27/9 | Determinanter: egenskaper, räkneregler. | S: 9.3, 9.6, 9.9 |
Fö 19 | 28/9 | Beräkna determinanter: utveckling efter rad/kolonn, adjunkt. Determinanter och rang. | S: 9.4-5, 9.9 |
Fö 20 | 29/9 | Komplexa tal: räkneregler, exponentialfunktionen. | PB: A.1-7 |
Fö 21 | 30/9 | Polynomekvationer. | PB: A.8-10 |
Fö 22 | 3/10 | Egenvärden och egenvektorer. | S: 10.1-2 |
Fö 23 | 3/10 | Diagonalisering. | S: 10.3 |
Fö 24 | 6/10 | Diagonaliserbara matriser, symmetriska matriser, spektralsatsen. | S: 10.3 |
Fö 25 | 10/10 | Spår, determinant och egenvärden. Tillämpningar. | S: 10.4 |
Fö 26 | 12/10 | Vektorrum: definition, exempel, underrum. | H: s 2-6 |
Fö 27 | 13/10 | Linjärt beroende, bas, dimension. Linjära avbildningar. | H: s 8-11, 43-44 |
Fö 28 | 13/10 | Skalärprodukt, ortogonalitet. | H: s 28-29, 31-32 |
Fö 29 | 14/10 | Repetition. | |
Fö 30 | 17/10 | Frågestund. | |
23/10 | Tentamen. |
Övningsuppgifter
Dag | Demonstration | Förslag på uppgifter för självverksamhet att välja bland |
---|---|---|
30/8 |
S: 1.3, 4, 18 |
S: 1.1-2, 5, 7, 8-10, 12, 15-16, 19, 22-23 |
6/9 |
S: 2.10, 19.b,d S: 3.3.a S: 4.1.a,b |
S: 2.1, 3-8, 11-12, 17-18, 20-21, 27, 29 S: 3.2-4 S: 4.1.c-e, 2-4, 9, 10.a, 12-13, 16 |
13/9 |
S: 3.5.c, 6.c, 14.a S: 4.26 S: 5.5 S: 6.2-3.a, 4-5.b,c |
S: 3.5.b,d, 6.b,d, 8, 9.b, 10.b, 11.a, 12, 14.b, 15-16, 18.b, 20, 23, 28-29 S: 4.18.a, 19, 25.b,c, 27, 30, 32-33, 39-40, 42, 45 S: 5.1-3, 6, 8-12, 15, 18, 21, 24 S: 6.1, 2.b,c, 3.b,c, 4-8, 10, 12-13 |
20/9 |
S: 7.1.a, 2.b,c, 5.a, 9.b, 23.f, 25 |
S: 7.1-3, 5-6, 7.b, 8, 9.c,d, 10, 12-13, 23.a-d, 24, 26-28, 32, 34, 36 |
27/9 |
MK: del 1.3 S: 2.26 S: 7.15.a S: 8.7, 24
|
MK: del 1.1-2, 4 + valfri uppgift från del 2 S: 2.25, 28 S: 7.15.b,c, 16-17, 19 S: 8.2, 5-6, 8, 10-12, 17-20, 25, 29-31, 40-42 S: 9.1-6, 8-9 |
4/10 |
S: 9.19, 21.a, 35, 54 PB: A.13, 39.b, 41.b. S: 10.3.c |
S: 9.10-13, 18-20, 22.a, 23, 25-26, 28, 31-34, 37, 39, 42, 44, 46, 49, 52 PB: A.4.c,f, 5, 12.d,g,f, 14-15, 18.c,g, 20.c, 22, 25, 27-28, 34.a-c, 37, 39.a, 41, 43, 46, 49 S: 10. 1-2, 3.b,d,f, 4.b,c,e, 5, 8-9 |
11/10 |
S: 10.12.c, 16, 17 | S: 10.10, 12.b,d,f, 15, 18, 21, 23, 26, 29 |
18/10 |
Pr: 2, 6.c,d, 22.b, 55, 96 |
Pr: 3, 4, 6.a,e,f, 20.c, 21, 22.a, 23, 51, 53, 97, 130 |
Kurskrav
Kursens syfte och lärandemål finns angivna i kursplanen.
Vid tentamen ska man kunna definiera, förstå och kunna använda alla begrepp och funktioner som ingår i kurslitteraturen. Alla satser som ingår ska kunna formuleras och användas vid problemlösning.
Minst en av teorifrågorna kommer bygga på nedanstående lista (om inget annat står syftar sats- och sidnummer på [S]). Ni skall kunna definitionerna och kunna bevisa satserna i listan (om det inte uttryckligen står annat.) Bevisen ni skall kunna kommer att gås igenom på föreläsningarna. Behandlat material kommer att markeras grönt.
- Definition av linjärt beroende / linjärt oberoende, Definition 4, s 33, och Sats 5, s 36 (dimension 2, 3) (Föreläsning 31/8) samt Definition 3 och Sats 2, s 100 (dimension n) (Föreläsning 12/9).
- "Bassatsen": Sats 4 s 34-35, Kapitel 2.3 (dim 2 och 3), Sats 3, s 103 (dim n) (Föreläsning 12/9).
- Lemma 1, s 28 (dim 1), Sats 2, s 29 (dim 2), Sats 3 s 30 (dim 3), se även här (Föreläsning 2/9).
- Definition av skalärprodukt av geometriska vektorer, Definition 1, s 63 (Föreläsning 5/9).
- Existens av ortogonal projektion se s 1-3 här och även Sats 1, s 65 (Föreläsning 6/9).
- Definition av vektorprodukt, Definition 2, s 85 (Föreläsning 7/9).
- Definition och geometrisk tolkning av skalär trippelprodukt, Definition 3, s 85 och Sats 2, s 86 (Föreläsning 7/9).
- Associativa lagen för matrisprodukt Sats 1(iv), (rad 1), s 121 (Föreläsning 14/9).
- Entydighet av invers, Lemma 2, s 129 (Föreläsning 16/9).
- Förändring av koordinater vid basbyten, Sats 6, s 137 (Föreläsning 23/9).
- Minsta kvadratmetoden, s 155-156, see även Proposition 1 här (Föreläsning 21/9).
- Sats 1, s 166 (Föreläsning 22/9).
- Determinantens definition, Definition 4, s 224 (Föreläsning 26/9).
- Sats 3, s 255 (Föreläsning 6/10).
- Lemma 2, s 256 (Föreläsning 6/10).
- Sats 7, s 259 (Föreläsning 10/10).
- Definition av vektorrum, [H] Definition 1.1, s 2 (Föreläsning 12/10).
- Definition av skalärprodukt och inre produktrum, [H] Definition 2.1, s 28 (Föreläsning 13/10).
Gamla tentor
Observera att tentorna till och med augusti 2021 är i den tidigare kursen TMA660 som täckte materialet i Fö1-21. Egenvärden och egenvektorer samt allmänna vektorrum ingick tidigare i kursen Linjär algebra och numerisk analys (TMA971 och TMA972).
- Tentamen 220822, lösningar.
- Tentamen 220103, lösningar.
- Tentamen 211023, lösningar.
- Tentamen 210823, lösningar.
- Tentamen 210104, lösningar.
- Tentamen 201024, lösningar.
- Tentamen 200824, lösningar.
- Tentamen 200107, lösningar.
- Tentamen 191026, lösningar.
- Tentamen 190826, lösningar.
- Tentamen 190107, lösningar.
- Tentamen 181027, lösningar.
- Tentamen 180827, lösningar.
- Tentamen 171219, lösningar.
- Tentamen 171023, lösningar.
Kurssammanfattning:
Datum | Information | Sista inlämningsdatum |
---|---|---|