MVE655 Flervariabelanalys

Efter att ha studerat matematisk analys i en variabel och linjär algebra ger vi oss nu in i flervariabelanalysens spännande värld. Vi kommer att studera funktioner av flera variabler och hur sådana funktioner kan deriveras och integreras.

Som i tidigare kurser kommer vi bl.a. också att tillämpa våra kunskaper för att studera ekvationer. De ekvationer vi nu träffar på kallas partiella differentialekvationer (PDE) och är något av de mer centrala verktygen vi har för matematisk modellering inom naturvetenskaperna och ingenjörskonst.

För information om kursmål, lärare, examination mm, se separat kurs-PM.

Som kurslitteratur används i år (liksom förra året) boken Flerdimensionell analys av Månsson & Nordbeck, samt tillhörande övningsbok.

Övningsboken kompletteras med häften med extra övningsuppgifter:

Här är extra övningsuppgifter för derivata-delen av kursen (motsvarande föreläsning F1-F12).

Här är extra övningsuppgifter för integral-delen av kursen (motsvarande föreläsning F13-F24)

Längst ner på denna kursöversikt och under fliken Moduler finns även kompletterande kursmaterial och länkar till externt material (och filmer) som kan vara till hjälp vid studierna.

Undervisningen

Föreläsningar:

Varje vecka är det schemalagt fyra föreläsningar och två övningar (se schema i TimeEdit). På föreläsningarna presenteras det teoretiska innehållet, som också förtydligas med exempel och visualiseringar. Genomgångarna varvas också av interaktiva moment där deltagarna själva får öva på enklare uppgifter.

För bäst utbyte av föreläsningarna förbereder du dig genom att läsa motsvarande avsnitt i kursboken (se föreläsningsplan nedan). Även You Tube filmerna av Månsson (och andra) kan med fördel användas som förberedelse inför föreläsningarna. Länkar till lämpliga filmer till resp. föreläsning hittar du i "Filmer" under resp. föreläsning i Moduler. Där kommer även föreläsningsanteckningar publiceras, men det sker först efter genomförd föreläsning.

Övningar:

Övningarna är i huvudsak tänkt som ren frågestund, med möjlighet att ställa enskilda frågor.

Duggor:

Under kursen erbjuds också några duggor (preliminärt 3 stycken, som öppnas i början av läsvecka 1,3 resp 5), med möjlighet att samla bonuspoäng för ev. överbetyg (läs mer om villkoren och beräkning av bonuspoäng under Examination i kurs-PM). Duggorna är frivilliga och skall betraktas som komplement till schemalagd undervisning och kursbok. Duggornas innehåll har fokus på visualisering av vissa begrepp och metoder, för vilket man behöver använda lämpligt programmerings/beräkningsverktyg som t.ex. Python eller Matlab. Som stöd för genomförandet kommer det finnas kompletterande stenciler som beskriver relevanta kommandon och metoder. Duggorna genomförs i det web-baserade systemet Möbius, och öppnas succesivt under kursens gång (länkar kommer finnas under fliken Moduler). För att ge tid till experimenterande, diskussion och uppmuntra så många som möjligt att göra detta kommer duggorna vara öppna t.o.m. läsvecka 6, med möjlighet till flera försök, samt öppna upp och stänga duggor i den takt ni själva önskar (dvs. ingen tidbegränsning mer än att de skall vara klara efter läsvecka 6). Formel för beräkning av bonuspoäng anges under avsnittet Examination i kurs-PM.

Program

Rekommenderade övningsuppgifter:

I program-planen nedan finns angivet rekommenderade övningsuppgifter, motsvarande innehållet i respektive föreläsning. Uppgiftsnummer som inleds med E avser uppgifter från häftena med extra övningsuppgifter (E1 är derivatadelen och E2 är integraldelen). Övriga uppgifter är från övningsboken av Månsson & Nordbeck. Känn efter vad du hinner med från vecka till vecka. Några av uppgifterna kan med fördel sparas till sista repetitionsveckan.

Här är också en pdf-fil med sammanställning över alla rekommenderade övningsuppgifter.

Till uppgifterna i övningshäftena finns lösningsförslag och svar längre bak i häftena (lösningar till integraldelen är inte fullständigt men kommer uppdateras kontinuerligt). Till uppgifterna i övningsboken av Månsson & Nordbeck har studenter i Lund gjort lösningsförslag till de flesta uppgifterna (här är en länk). Jag har dock inte själv någon del i dessa lösningar och inte kontrollerat dess korrekthet, och fritar mig däför allt ansvar för ev. felaktigheter i dessa lösningar. Kanske kan de ändå vara till viss hjälp.

Uppgifterna är uppdelade i följande fyra kategorier;

Uppgifter i rött och understrukna t.ex. 6 är i allmänhet enkla instuderingsuppgifter, som det rekommenderas att man angriper först och skall betraktas som ett absolut minimum för att ligga någorlunda i fas med föreläsningsplanen.
Uppgifter i blått utan någon speciell markering t.ex. 7 är normala uppgifter på godkäntnivå.
Uppgifter i svart som markerats med en stjärna efter sig t.ex. 8* kan betraktas som överbetygsuppgifter och jobbas med i mån av tid och ambition.
Uppgifter inom parantes t.ex. (9) är liknande uppgifter som övriga, men tillför inte så mycket nytt utan är mest för er som vill öva lite extra.

Föreläsningsmaterial:

Under fliken Moduler (se menyn till vänster) publiceras föreläsningsmaterial i takt med att kursen framskrider. Där kommer också finnas kompletterande material, länkar till (externa) föreläsningsvideos mm för respektive föreläsning.

Föreläsning	Innehåll	Övningsuppgifter
Läsvecka 1
Föreläsning 1 30 okt, kl.8-10	Presentation av kursen, Geometri i $LaTeX: \mathbb{R}^n$ - vektorer, koordinater, avstånd (1.4), Tolkning av ekvationer och olikheter i två och tre variabler, samt system av sådana - speciellt andragradsekvationer (2.1, 2,2).	Kap 2: (5), 6, (10), 11 E1: 1-4, 5-7
Föreläsning 2 31 okt, kl.8-10	Mer om andragradsytor (föreläsningsanteckningar + stencil) Några mängd-topologisk begrepp - omgivning, inre/yttre/rand-punkt, öppen, sluten, begränsad, kompakt mängd, komplementet (1.2), Koordinatbyten (3.2) - speciellt polära, sfäriska och cylindriska koordinater (2.3)	Kap 2: 7, 8, 9, 14, 15 E1: (8), 9, 10*, 11, 12, 13
Föreläsning 3, 1 nov, kl.10-12	Funktioner från $LaTeX: \mathbb{R}^n$ till $LaTeX: \mathbb{R}^m$ (allmänt) och sammansättning av sådana funktioner (3.3), Funktionsbegrepp - begränsad, injektiv, bijektiv, invers (3.2) - läs själva i boken och/eller föreläsningsanteckningar. Reellvärda funktioner av två resp. tre variabler, Definitionsmängd, Grafer, Nivåkurvor och nivåytor (3.1)	Kap 3: (1ac), 2, 3, 4b, (6, 7), 8, 10 E1: 14, 15a, 15bc, 16, 17, 18-23, 24a, 24b, 24c*
Föreläsning 4 2 nov, kl.8-10	Gränsvärde, Kontinuitet (3.4), Partiell derivata, Tangentplan, Normallinje (4.1)	Kap 3: (17abeghi), 18, (19, 20), 21, 22 Kap 4: (1), 2ab, 3, 4, (5), 6, 7, 45 E1:* 25abcfg, 25dej, 25hi, 26, 27abc, 27d, 28, (29), 30, 31, 33, 34, 36, 37, 38, (39), 40
Läsvecka 2
Föreläsning 5 6 nov, kl.8-10	Differentierbarhet, Samband mellan olika regularitet, Funktionalmatris/Jacobimatris (4.2, 6.3), Differentialer, Linjärisering och feluppskattning (4.5, 6.3)	Kap 4: 38, 39, 40, (42, 43), 44 Kap 6:* 9, 10, 13, 35 E1: 41, 43, 45, 46, (47), 48, 49, 50
Föreläsning 6 $LaTeX: \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$ 7 nov, kl.8-10	Kedjeregeln (4.3, 6.3), Derivator vid variabelbyten (4.3, 4.6) Bevis av kedjeregeln (4.8) - läs själva i boken och/eller föreläsningsanteckningar.	Kap 4: 8, 10, 13-15 Kap 6: 11, (12) E1: 54, 55
Föreläsning 7 8 nov, kl.10-12	Högre derivator (4.6), Kedjeregeln på andraderivator (4.6), Gradient och riktningsderivata (4.1)	Kap 4: 16, 17, 18, (19), 20, (54), 59 E1: 51, 52, 53, 56, 57, 58, 63-65, (66), 68*
Föreläsning 8 9 nov, kl.8-10	Mer om gradient och riktningsderivata - maximal/minimal riktningsderivata, tangent och normal till nivåkurva, tangentplan och normal till nivåyta (4.4)	Kap 4: 21, 22, 23, (24, 25), 26, 27, 28, (29), 30, 31,* 32, (33), 34, (35c), 36, 37, 64, (69, 70, 72, 74, 75, 83), 84 E1: 59, 60, (61), 62, 67, 69, 70, 71*
Läsvecka 3
Föreläsning 9 13 nov, kl.8-10	Inversa och Implicita funktionssatsen, Implicit derivering, Funktionaldeterminant/Jacobideterminant (6.4)	Kap 6: 19, 21, 22, 23, (24), 25, (26), 27, 28, (31), 32, (34), 36 E1: 72, 73*, 74
Föreläsning 10 14 nov, kl.8-10	Kort om partiella differentialekvationer - PDE (4.7), Några viktiga PDE i polära, sfäriska och cylindriska koordinater (föreläsningsanteckningar), Byte av variabler i PDE (4.7), Taylorutveckling (5.1)	Kap 4: 9, 11, 12,* 46, 47, (48), 49, 50, 52, 53 (51, 55), 56-58, 60, (61-63), 65, (66-68, 71, 73, 76), 77, 78,* (79) Kap 5:* 1, (2), 3, 62 Kap 6: 30 E1: 75, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, (85), 86, 87
Föreläsning 11 15 nov, kl.10-12	Lokala extrempunkter, Stationära punkter, Sadelpunkter (5.2), Villkor för lokal extrempunkt/sadelpunkt, Hessematris (5.2+ föreläsningsanteckningar)	Kap 5: (4a), (4b), 5, 6, (7), 8, 9, 10ab, (10cd, 11c), 12, 13, 14, 49, 59* E1: 88a, 88bc, 88d, 89, 90, 91, 92*
Föreläsning 12 16 nov, kl.8-10	Optimering över områden (5.3), Optimering med bivillkor, Lagrange multiplikatormetod (5.4)	Kap 5: 15, 16, 17, 18, (19, 20), 21, 22, (23, 24), 25, (26), 27, (28), 29, 30, 31, 32, 33, (34, 35, 36, 50, 53, 54), 63, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 44, (45), 46, (47), 51, 57, 58, 64, 65, (66) E1:* (94), 95, 96, (97), 98, 99, 100, (101), 102, 103, 104, (105), 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, (115*)
Läsvecka 4
Föreläsning 13 20 nov, kl.10-12	Mer om Lagrange multiplikatormetod, Gradientmetoden - läs själva i föreläsningsanteckningar och pdf i Modul. Metoden används i dugga 2. Dubbelintegralens definition och egenskaper, Riemannsummor (7.1, 7.2, 7.5), Beräkning av dubbelintegraler, Upprepad integration, byte av integrationsordning (7.2)	Kap 7: (1), 2, (3), 4, 5, 6-8, (9), 10, 11, 12, 13, 14, 15, (16), 17, 56, (60, 64) E2:* 1a, 1bc, 2ab, 2cd, (3a), 3bc, 3d, 4, 5, 6*
Föreläsning 14 21 nov, kl.10-12	Fler exempel på upprepad integration (7.2), Variabelsubstitution i dubbelintegraler (7.3), Polär substitution i dubbelintegral (7.3)	Kap 7: 18, 19, (20), 21, 22, 23, 24, (25, 26), 27, (28), 29, 55, (59, 61) E2: 7ab, 7c, 8-10, (11), 12, 13, (14), 15, 16, 17, 18, (19)
Föreläsning 15 22 nov, kl.10-12	Fler exempel på variabelsubstitution i dubbelintegral, Tillämpningar på dubbelintegraler - Area, Volym, Tyngdpunkt (8.1), Trippelintegraler, Upprepad integration, byte av integrationsordning (7.6), Metod för områden som begränsas av funktionsytor ("stickmetoden"), Skivningsmetoden (7.6)	Kap 7: 42-44 Kap 8: (1), 2, (3), 5, (6), 7, (8), 9, 10, (11), 17, 46 E2: (21a), 21be, 21cd, 21fg, 22, 23, 24
Föreläsning 16 23 nov, kl.8-10	Fler exempel på skivmetoden och "stickmetoden", Variabelsubstitution i trippelintegraler, Cylindrisk och sfärisk substitution (7.6), Tillämpningar på trippelintegraler - Volym, Massa, Tyngdpunkt, Moment (8.1, 8.2)	Kap 7: 45, 46, (47), 48, (49), 50, 51* Kap 8: 13, 14, 15, 16, (18), 19, 24, (25), 41, 46, 47* E2: (25, 26, 27ab, 27c*), 28, 29
Läsvecka 5
Föreläsning 17 27 nov, kl.10-12	Medelvärde, Medelvärdessatsen (7.2), Generaliserade integraler (7.4), Blandade exempel på multipelintegraler (föreläsningsanteckningar), Parametrisering av kurvor i planet och rummet, Tangenter till kurvor, Hastighet och accelleration av rörelser utefter kurvor, Reguljära, Enkla, Slutna, Sammansatta och Orienterade kurvor (3.2, 6.1, 6.5)	Kap 3: 12a-g, 12h, 16 Kap 6: (1), 2, 3-5 Kap 7: (30), 31-33, 35, (36), 37, 38, 39, (40), 52, 53, 54, 57, 58, 62, 63* E2: 31, 32, 33, 34, 35, 36a, (36b), 37ad, 37bce, 38, 39, (40, 41, 42), 43, 44abce, 44d, 44fg, 45, (46), 47abd, 47c, 47e, 48, 49, 50, 51, 52, 53*
Föreläsning 18 28 nov, kl.10-12	Båglängdselement och längd av kurva (8.3), Kurvintegral dvs. Integral av funktion över en kurva (8.3), Fler tillämpningar på kurvintegraler - massa och tyngdpunkt av tunn tråd (8.3), Vektorfält (3.2), Fältlinjer (föreläsningsanteckningar)	E2: 54, 55, 56, 57, 58, (59), 60, 61, 62-65
Föreläsning 19 29 nov, kl.10-12	Kurvintegraler av vektorfält/Tangentkurvintegral, och arbete (9.1, 10.1), Greens formel med exempel (9.2)	Kap 9: 1-3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, (11), 12, 13, (14), 15, 18, 21, 23, 24, (25), 28 Kap 10: 1-3, 4, 5, 6 E2: (66ab), 66cd, 67, 68, 69, (70), 71, (72), 73, 75
Föreläsning 20 30 nov, kl.8-10	Bevis av Greens formel (9.2), Konservativa fält och (skalär) potential (9.3, 10.1), Hitta potential till potentialfält (4.7, 9.3, 10.1), Villkor för potentialfält, Enkelt sammanhängande område (9.3, 10.1)	Kap 9: (29), 30, 31, 33, 34, 35, 36, 38, (39), 40, 42, 43, (46) Kap 10: 7, 8, 9, (10), 11, 12, 13, (14), 62, 64, (65) E2: (77cd), 78
Läsvecka 6
Föreläsning 21 4 dec, kl.10-12	Kurvintegraler över konservativa fält (9.3, 10.1), Ekvipotential-kurvor/ytor och samband med fältlinjer (9.3, 10.1), Parametrisering av ytor, Tangentplan och normaler till parametriserade ytor (3.2, 6.2), Areaelement för ytor, Ytintegral dvs. Integral av funktion över en yta (8.4)	Kap 3: 13 Kap 6: (6), 7, 8 Kap 8: 28, 29, 30a-c, 30d, 31, 32-35* E2: 66cd, 67, 76, 79, 80, 81, 82, 83, (84), 85-87,* 88, 89, (90, 91, 92, 93), 94*
Föreläsning 22 5 dec, kl.10-12	Fler tillämpningar på ytintegraler - area av yta, massa och tyngdpunkt av tunt ytskikt (8.4), Reguljära, Sammansatta och Orienterade ytor (6.5), Flödesintegraler/Normalytintegraler (9.4, 10.1), Tillämpningar på flödesintegraler (9.4, 10.1)	Kap 10: 16-19, 20, (21), 22, 66, (67), 68, 69, (70) E2: 95, 96, (97, 98), 99, 100, 101, 103, 104
Föreläsning 23 6 dec, kl.10-12	Ytintegraler på nivåytor - läs själva i föreläsningsanteckningar, Flöde genom nivåytor (föreläsningsanteckningar), Divergens och rotation, Divergensfria/Källfria fält, Rotationsfria/Virvelfria fält (9.5, 10.3), Gauss sats (9.5, 10.3), Tillämpningar av Gauss sats (9.5, 10.3)	Kap 10: 31, 32, 33, 34-36, 37, 38, 39, 40, 41, (42), 43, 44 E2: 95, 96, 97, (99), 105, 106ab, 106cd, (107), 108, 109, 110, 111, 113*
Föreläsning 24 7 dec, kl.8-10	Bevis av Gauss sats (10.3), Motivering till tollkning av begreppet divergens (9.5+föreläsningsanteckningar), Stokes sats (9.5, 10.2), Tillämpningar av Stokes sats (9.5, 10.2), Motivering till tollkning av begreppet rotation (9.5+föreläsningsanteckningar), Vektorpotential (10.2), Nablakalkyl (10.3+föreläsningsanteckningar)	Kap 10: 23, 24, 25, 26, 27, 28, (29), 30, 45-49, 50-53, 55, 56, 60, 61* E2: 115, 116, 117, 118, 119
Läsvecka 7
Föreläsning 25 11 dec, kl.10-12	Maxwells ekvationer (föreläsningsanteckningar), Härledning av värmeledningsekvationen, Olika typer av randvillkor (föreläsningsanteckningar)
Föreläsning 26 12 dec, kl.10-12	Tillbakablick på integraldelen av kursen
Föreläsning 27 13 dec, kl.10-12	Repetition / Genomgång av tenta
Föreläsning 28 15 dec, kl.8-10	Repetition / Genomgång av tenta

Föreläsning

Innehåll

Övningsuppgifter

Läsvecka 1

Föreläsning 1

30 okt, kl.8-10

Presentation av kursen,

Geometri i $LaTeX: \mathbb{R}^n$ - vektorer, koordinater, avstånd (1.4),

Tolkning av ekvationer och olikheter i två och tre variabler, samt system av sådana - speciellt andragradsekvationer (2.1, 2,2).

Kap 2: (5), 6, (10), 11

E1: 1-4, 5-7

Föreläsning 2

31 okt, kl.8-10

Mer om andragradsytor (föreläsningsanteckningar + stencil)

Några mängd-topologisk begrepp - omgivning, inre/yttre/rand-punkt, öppen, sluten, begränsad, kompakt mängd, komplementet (1.2),

Koordinatbyten (3.2) - speciellt polära, sfäriska och cylindriska koordinater (2.3)

Kap 2: 7, 8, 9, 14, 15

E1: (8*), 9*, 10*, 11, 12, 13

Föreläsning 3,

graf_och_nivåkurva.png

1 nov, kl.10-12

Funktioner från $LaTeX: \mathbb{R}^n$ till $LaTeX: \mathbb{R}^m$ (allmänt) och sammansättning av sådana funktioner (3.3),

Funktionsbegrepp - begränsad, injektiv, bijektiv, invers (3.2) - läs själva i boken och/eller föreläsningsanteckningar.

Reellvärda funktioner av två resp. tre variabler, Definitionsmängd, Grafer, Nivåkurvor och nivåytor (3.1)

Kap 3: (1ac), 2, 3, 4b, (6, 7), 8, 10

E1: 14, 15a, 15bc, 16, 17, 18-23, 24a, 24b, 24c*

Föreläsning 4

2 nov, kl.8-10

Gränsvärde, Kontinuitet (3.4),

Partiell derivata, Tangentplan, Normallinje (4.1)

Kap 3: (17abeghi), 18*, (19*, 20*), 21*, 22

Kap 4: (1), 2ab, 3*, 4, (5), 6, 7, 45

E1: 25abcfg, 25dej, 25h*i*, 26*, 27abc, 27d*, 28, (29*), 30*, 31, 33*, 34*, 36, 37, 38, (39), 40

Läsvecka 2

Föreläsning 5

6 nov, kl.8-10

Differentierbarhet, Samband mellan olika regularitet, Funktionalmatris/Jacobimatris (4.2, 6.3),

Differentialer, Linjärisering och feluppskattning (4.5, 6.3)

Kap 4: 38*, 39, 40, (42, 43), 44

Kap 6: 9, 10, 13, 35

E1: 41*, 43*, 45, 46, (47), 48, 49, 50

Föreläsning 6

$LaTeX: \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$

7 nov, kl.8-10

Kedjeregeln (4.3, 6.3),

Derivator vid variabelbyten (4.3, 4.6)

Bevis av kedjeregeln (4.8) - läs själva i boken och/eller föreläsningsanteckningar.

Kap 4: 8, 10, 13-15

Kap 6: 11, (12)

E1: 54, 55

Föreläsning 7

8 nov, kl.10-12

Högre derivator (4.6),

Kedjeregeln på andraderivator (4.6),

Gradient och riktningsderivata (4.1)

Kap 4: 16, 17, 18, (19), 20, (54), 59

E1: 51, 52*, 53*, 56, 57, 58, 63-65, (66), 68*

Föreläsning 8

9 nov, kl.8-10

Mer om gradient och riktningsderivata - maximal/minimal riktningsderivata, tangent och normal till nivåkurva, tangentplan och normal till nivåyta (4.4)

Kap 4: 21, 22, 23, (24, 25), 26, 27, 28*, (29), 30, 31, 32, (33), 34, (35c), 36, 37*, 64, (69, 70, 72, 74, 75, 83), 84*

E1: 59, 60, (61), 62, 67, 69*, 70*, 71*

Läsvecka 3

Föreläsning 9

13 nov, kl.8-10

Inversa och Implicita funktionssatsen, Implicit derivering, Funktionaldeterminant/Jacobideterminant (6.4)

Kap 6: 19, 21, 22, 23, (24), 25, (26), 27, 28, (31*), 32*, (34), 36

E1: 72, 73*, 74

Föreläsning 10

14 nov, kl.8-10

Kort om partiella differentialekvationer - PDE (4.7),

Några viktiga PDE i polära, sfäriska och cylindriska koordinater (föreläsningsanteckningar),

Byte av variabler i PDE (4.7),

Taylorutveckling (5.1)

Kap 4: 9*, 11, 12, 46, 47, (48), 49, 50, 52, 53 (51, 55), 56-58, 60, (61-63), 65*, (66-68, 71, 73, 76), 77, 78, (79*)

Kap 5: 1, (2), 3, 62

Kap 6: 30

E1: 75, 77, 78*, 79*, 81, 82, 83*, 84, (85), 86, 87*

Föreläsning 11

15 nov, kl.10-12

Lokala extrempunkter, Stationära punkter, Sadelpunkter (5.2),

Villkor för lokal extrempunkt/sadelpunkt, Hessematris (5.2+ föreläsningsanteckningar)

Kap 5: (4a), (4b*), 5, 6*, (7), 8, 9, 10ab, (10cd, 11c), 12, 13, 14*, 49, 59

E1: 88a, 88bc, 88d*, 89, 90, 91*, 92*

Föreläsning 12

16 nov, kl.8-10

Optimering över områden (5.3),

Optimering med bivillkor, Lagrange multiplikatormetod (5.4)

Kap 5: 15, 16, 17*, 18, (19, 20), 21, 22, (23, 24), 25, (26), 27, (28*), 29*, 30*, 31*, 32*, 33*, (34*, 35*, 36, 50, 53, 54), 63*, 37, 38*, 39, 40, 41, 42, 44, (45*), 46*, (47*), 51, 57*, 58, 64*, 65*, (66)

E1: (94), 95, 96, (97), 98, 99, 100*, (101*), 102*, 103, 104, (105), 106, 107, 108*, 109*, 110*, 111*, 112*, 113*, 114*, (115*)

Läsvecka 4

Föreläsning 13

20 nov, kl.10-12

Mer om Lagrange multiplikatormetod,

Gradientmetoden - läs själva i föreläsningsanteckningar och pdf i Modul. Metoden används i dugga 2.

Dubbelintegralens definition och egenskaper, Riemannsummor (7.1, 7.2, 7.5),

Beräkning av dubbelintegraler, Upprepad integration, byte av integrationsordning (7.2)

Kap 7: (1), 2, (3), 4, 5, 6-8, (9), 10, 11, 12, 13, 14, 15, (16), 17*, 56, (60, 64)

E2: 1a, 1bc, 2ab, 2cd, (3a), 3bc, 3d*, 4, 5*, 6*

Föreläsning 14

21 nov, kl.10-12

Fler exempel på upprepad integration (7.2),

Variabelsubstitution i dubbelintegraler (7.3),

Polär substitution i dubbelintegral (7.3)

Kap 7: 18, 19, (20), 21, 22*, 23*, 24*, (25*, 26), 27, (28*), 29*, 55, (59, 61)

E2: 7ab, 7c, 8-10, (11), 12*, 13, (14), 15*, 16, 17, 18*, (19*)

Föreläsning 15

22 nov, kl.10-12

Fler exempel på variabelsubstitution i dubbelintegral,

Tillämpningar på dubbelintegraler - Area, Volym, Tyngdpunkt (8.1),

Trippelintegraler, Upprepad integration, byte av integrationsordning (7.6),

Metod för områden som begränsas av funktionsytor ("stickmetoden"), Skivningsmetoden (7.6)

Kap 7: 42-44

Kap 8: (1), 2, (3), 5*, (6*), 7, (8*), 9*, 10, (11), 17, 46

E2: (21a), 21be, 21cd, 21f*g*, 22, 23*, 24*

Föreläsning 16

23 nov, kl.8-10

Fler exempel på skivmetoden och "stickmetoden",

Variabelsubstitution i trippelintegraler, Cylindrisk och sfärisk substitution (7.6),

Tillämpningar på trippelintegraler - Volym, Massa, Tyngdpunkt, Moment (8.1, 8.2)

Kap 7: 45, 46, (47), 48, (49), 50, 51*

Kap 8: 13, 14, 15, 16, (18), 19, 24, (25), 41, 46, 47*

E2: (25, 26, 27ab, 27c*), 28, 29

Läsvecka 5

Föreläsning 17

27 nov, kl.10-12

Medelvärde, Medelvärdessatsen (7.2), Generaliserade integraler (7.4),

Blandade exempel på multipelintegraler (föreläsningsanteckningar),

Parametrisering av kurvor i planet och rummet, Tangenter till kurvor, Hastighet och accelleration av rörelser utefter kurvor, Reguljära, Enkla, Slutna, Sammansatta och Orienterade kurvor (3.2, 6.1, 6.5)

Kap 3: 12a-g, 12h, 16

Kap 6: (1), 2, 3-5

Kap 7: (30), 31-33, 35, (36), 37, 38, 39*, (40), 52, 53, 54*, 57*, 58, 62*, 63*

E2: 31, 32, 33*, 34*, 35*, 36a, (36b), 37ad, 37bce, 38, 39, (40*, 41*, 42*), 43*, 44abce, 44d*, 44fg, 45, (46), 47abd, 47c, 47e*, 48*, 49*, 50*, 51*, 52, 53

Föreläsning 18

28 nov, kl.10-12

Båglängdselement och längd av kurva (8.3),

Kurvintegral dvs. Integral av funktion över en kurva (8.3),

Fler tillämpningar på kurvintegraler - massa och tyngdpunkt av tunn tråd (8.3),

Vektorfält (3.2), Fältlinjer (föreläsningsanteckningar)

E2: 54, 55, 56, 57, 58*, (59*), 60, 61, 62-65

Föreläsning 19

29 nov, kl.10-12

Kurvintegraler av vektorfält/Tangentkurvintegral, och arbete (9.1, 10.1),

Greens formel med exempel (9.2)

Kap 9: 1-3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, (11), 12, 13, (14), 15*, 18*, 21*, 23*, 24*, (25), 28*

Kap 10: 1-3, 4, 5, 6

E2: (66ab), 66cd, 67, 68, 69*, (70), 71, (72), 73, 75*

Föreläsning 20

30 nov, kl.8-10

Bevis av Greens formel (9.2),

Konservativa fält och (skalär) potential (9.3, 10.1),

Hitta potential till potentialfält (4.7, 9.3, 10.1),

Villkor för potentialfält, Enkelt sammanhängande område (9.3, 10.1)

Kap 9: (29), 30, 31, 33, 34*, 35, 36, 38*, (39*), 40, 42, 43*, (46)

Kap 10: 7, 8, 9, (10), 11, 12, 13*, (14), 62, 64*, (65)

E2: (77cd), 78

Läsvecka 6

Föreläsning 21

4 dec, kl.10-12

Kurvintegraler över konservativa fält (9.3, 10.1),

Ekvipotential-kurvor/ytor och samband med fältlinjer (9.3, 10.1),

Parametrisering av ytor, Tangentplan och normaler till parametriserade ytor (3.2, 6.2),

Areaelement för ytor, Ytintegral dvs. Integral av funktion över en yta (8.4)

Kap 3: 13

Kap 6: (6), 7, 8

Kap 8: 28, 29, 30a-c, 30d, 31*, 32-35

E2: 66cd, 67, 76, 79, 80*, 81, 82, 83, (84), 85-87, 88*, 89*, (90*, 91*, 92*, 93*), 94*

Föreläsning 22

flöde2.png

5 dec, kl.10-12

Fler tillämpningar på ytintegraler - area av yta, massa och tyngdpunkt av tunt ytskikt (8.4),

Reguljära, Sammansatta och Orienterade ytor (6.5),

Flödesintegraler/Normalytintegraler (9.4, 10.1),

Tillämpningar på flödesintegraler (9.4, 10.1)

Kap 10: 16-19, 20, (21), 22, 66, (67), 68, 69, (70)

E2: 95, 96, (97, 98), 99, 100, 101, 103*, 104*

Föreläsning 23

flöde.png

6 dec, kl.10-12

Ytintegraler på nivåytor - läs själva i föreläsningsanteckningar,

Flöde genom nivåytor (föreläsningsanteckningar),

Divergens och rotation, Divergensfria/Källfria fält, Rotationsfria/Virvelfria fält (9.5, 10.3),

Gauss sats (9.5, 10.3),

Tillämpningar av Gauss sats (9.5, 10.3)

Kap 10: 31, 32, 33, 34-36, 37, 38, 39, 40*, 41, (42), 43, 44*

E2: 95, 96, 97, (99), 105, 106ab, 106cd, (107), 108*, 109*, 110*, 111*, 113*

Föreläsning 24

7 dec, kl.8-10

Bevis av Gauss sats (10.3),

Motivering till tollkning av begreppet divergens (9.5+föreläsningsanteckningar),

Stokes sats (9.5, 10.2),

Tillämpningar av Stokes sats (9.5, 10.2),

Motivering till tollkning av begreppet rotation (9.5+föreläsningsanteckningar),

Vektorpotential (10.2), Nablakalkyl (10.3+föreläsningsanteckningar)

Kap 10: 23, 24, 25, 26, 27*, 28, (29), 30*, 45-49, 50-53, 55*, 56, 60, 61

E2: 115, 116, 117, 118*, 119*

Läsvecka 7

Föreläsning 25

11 dec, kl.10-12

Maxwells ekvationer (föreläsningsanteckningar),

Härledning av värmeledningsekvationen, Olika typer av randvillkor (föreläsningsanteckningar)

Föreläsning 26

12 dec, kl.10-12

Tillbakablick på integraldelen av kursen

Föreläsning 27

13 dec, kl.10-12

Repetition /

Genomgång av tenta

Föreläsning 28

15 dec, kl.8-10

Repetition /

Genomgång av tenta

Tillbaka till toppen

Datorlaborationer

Det finns inga schemalagda laborationer i denna kurs. Till de bonusgrundande duggorna behövs dock programmerings/beräknings-verktyg som t.ex. Python eller Matlab, men arbetet med dessa sker på egen hand med visst stöd av kompletterande stenciler (kommer finnas tillgängliga i samma Moduler som där själva duggorna kommer finnas). Mer info om duggorna finns under avsnittet Undervisning ovan.

Tillbaka till toppen

Kompletterande kursmaterial och länkar

Tillbaka till toppen

Länkar till material och filmer på webben

Här är en länk till kanal på You Tube med filmer där många av begreppen i denna kurs presenteras (på svenska). OBS! Läraren i filmerna representerar inte Chalmers och har ingen koppling till denna kurs. Jag bedömer ändå innehållet i filmerna som relevanta.
Här är en länk till en öppen kurs i flervariabelanalys vid Massachusetts Institute of Technology (MIT). Den täcker stora delar av vår kurs och innehåller mycket material av olika slag. Bland annat finns det videosnuttar från föreläsningar som kan vara ett intressant komplement till de föreläsningar jag kommer hålla.
Här är en länk till öppen "kurs" (med videos mm) i flervariabelanalys på web-portalen Khan Academy. Videos är gjorda av Grant Sanderson, även känd för sin You Tube kanal 3Blue1Brown.
Finns många böcker om användning av Python för matematik (både visualisering och beräkningar), varav en del finns helt eller delvis åtkomliga på webben. Här är en sådan bok, vars inledande kapitel om visualiseringar och beräkningar i analys är öppna att läsa utan betalning (förhandsgranskning).

Tillbaka till toppen

Course summary:

Date	Details	Due

November 2024

Calendar
Sunday	Monday	Tuesday	Wednesday	Thursday	Friday	Saturday
28 October 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	29 October 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	30 October 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	31 October 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	1 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	2 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	3 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details
4 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	5 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	6 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	7 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	8 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	9 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	10 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details
11 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	12 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	13 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	14 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	15 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	16 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	17 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details
18 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	19 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	20 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	21 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	22 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	23 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	24 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details
25 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	26 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	27 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	28 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	29 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	30 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	1 December 2024 Previous month Next month Today Click to view event details
2 December 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	3 December 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	4 December 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	5 December 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	6 December 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	7 December 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	8 December 2024 Previous month Next month Today Click to view event details