Vecka 6: Tillämpningar av derivata

Läsning L14 derivata 2: tillämpningar till grafritning och optimering

Läsning L15 derivata 3: differentialer och differentialkalkyl

Läsning L16: Taylor utvecklingar (NYTT)

11.1 Maclaurinutveckling
11.2 Utväckling av några elementära funktioner
11.3 Maclaurinserier
11.4 Taylorutveckling
- Taylor polynomet : $LaTeX: f(x)\approx T_n(x)$
- Rest term :
  - $LaTeX: R_{n+1}(x)=B(x)(x-a)^{n+1}$ och $LaTeX: B(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$ med $LaTeX: \xi\in(a,x)$ eller $LaTeX: \xi\in(a,x)$ beroende på om x eller a är störst (se sidor 259 och 275 i boken)
  - är begränsad! detta på grund av att $LaTeX: f^{(n+1)}(x)$ är kontinuerlig i ett intervall omkring , som är ett villkor för Taylor satsen (se sida 262 i boken för argumentation)
Ordo notationen: se https://sv.wikipedia.org/wiki/Ordo;
- $LaTeX: f(x)g(x)={\cal O}(g(x))$ om är begränsad för $LaTeX: x\to a$ eller $LaTeX: x\to\infty$
- exempel: $LaTeX: B(x)(x-a)^{n+1}={\cal O}((x-a)^{n+1})$ om är begränsad för $LaTeX: x\to a$
- exempel: $LaTeX: \sin{x}=x-\frac{x^3}{6}+{\cal O}(x^5),\,\,x\to 0$
- en bra minnesteknik är att tänka $LaTeX: f(x)={\cal O}(g(x))\approx K\cdot g(x)$
- räkneregler för ordo

Relevanta övningar i övningsboken:

Lokala extrempunkter och grafritning: 10.24-10.33
Optimering: 10.34-10.51
Visa olikheter: 10.54 (tips: derivera vänstra och högra leden av ekvationen)
Blandade problem: 10.56-10.81
Maclaurinpolynom och restterm på Lagranges form: 11.1-1.13
Entydighet av Maclaurinutvecklingar: 11.14-11.15
Gränsvärden (med hjälp av polynom approximation): 11.20-22, 11.23-11.24 (MVG), 11.27 (VG)
Taylorpolynom: 11.33
Blandade problem: 11.37 (MVG), 11.43 (VG)

Genomgång:

RÖ11: derivata av komplexa funktioner i en variabel: 10.21; högre derivator: 10.23.a (VG), 10.23.b (MVG); extrempunkter: 10.24.b, 10.24.c; sneda asymptoter: 10.28.a, 10.28.b, 10.28.c, 10.30.a, 10.30.b; optimering (en typisk MVG tenta fråga): 10.34.a, 10.36, 10.40 (MVG), 10.44 (VG), 10.45 (VG), 10.47 (MVG), 10.48 (MVG), 10.62 (MVG); en typisk MVG tenta fråga handlar om tillämpningar av differentialer: tex ekvation system med en parameter som ändras, hur förändras lösningen?
RÖ12 (rö12 mve535.pdf): 11.2a-c (utv. av expx och sinx, gör samma för cosx byt x mot iu och se vad händer), 11.3a-d (VG, polynom approximation av sqrt(1+x)), 11.4 (c delen är VG), 11.5 (d delen är MVG), 11.6 (MVG), 11.21a, 11.24b (svåraste problemet i hela kursen, MVG^2)

Rekommenderade videor: