Kursöversikt

MTM026 Hållfasthetslära lp4 VT24 (7,5 hp)

Kursen ges av institutionen för Mekanik och maritima vetenskaper. Se också kursplanen i Studieportalen.

Kontaktuppgifter

Examinator & föreläsare	Jim Brouzoulis, jim.brouzoulis@chalmers.se (skicka gärna meddelande genom Canvas)
Övningsassistent	Henrik Vilhelmson
Lärare under räknestugor	Henrik Vilhelmson, Björn Andersson och Jim Brouzoulis
Assistenter under datorövningar	Sucheth Bysani, Akhilesh Arjun, Berken Serbülent (student M3), Daniel Jinneryd (student M3), Emily Hughes (student M3), Henrik Vilhelmson, Björn Andersson, Jim Brouzoulis

Gästföreläsare från AFRY kommer hålla en föreläsning i senare delen av kursen. 

 

Syfte och innehåll

Välkomna till nästa kurs i Hållfasthetslära! Kursen bygger på kursen Statik & Hållfasthetslära och tar vid där den slutade. Nu kommer deformationer, spänningar, stabilitet och brott att studeras. Relevanta frågeställningar kan vara: Hur skall delarna till en personbil dimensioneras? Vilka intervall skall väljas för inspektioner av flygplan? För att besvara sådana frågor underlättar matematisk modellering. 

Syftet med hållfasthetsläran är att bestämma konstruktioners dimensioner med hänsyn till främst hållbarhet, livslängd, materialval, funktion och vikt. Cirka 80% av alla mekaniska haverier beror på utmattning till årlig samhällskostnad som har beräknats till 4–5% av BNP. Detta ofta som följd av otillräckliga hållfasthetsanalyser eller brist på kunskap. Kunskaper i hållfasthetslära kan alltså hjälpa till att ge en teknologisk, ekonomiskt och socialt hållbar 
samhällsutveckling!

De flesta hållfasthetsmodeller är uppbyggda av tre grundsamband: 

1. samband som anger hur krafter samspelar under jämvikt,
2. konstitutiva samband som beskriver hur material deformeras under belastning och
3. kompatibilitetssamband som beskriver de deformationstvång en konstruktion har

Kombineras dessa samband erhålls differentialekvationer som  beskriver hur konstruktionsdelar belastas undre yttre mekanisk eller termisk påverkan. Dessa ekvationer har en entydig lösning om randvillkoren är kända, dvs hur konstruktionen är förankrad i dess omgivning. Svar på frågor av typen ovan kan tas fram då ekvationerna lösts. 

I de flesta tillämpningar går det inte att lösa differentialekvationerna analytiskt p.g.a. konstruktionens komplexitet. I nära nog allt konstruktionsarbete används idag då finita elementmetoden (FEM) för att lösa ekvationerna approximativt med numeriska metoder. Det finns en stor mängd datorprogram för att göra sådana FE-beräkningar. I kursen kommer vi att bekanta oss med ANSYS som är ett av de vanligaste kommersiella FE-programmen. FE-beräkningar kommer att vara ett viktigt verktyg i kommande produktutvecklingsprojekt i senare kurs. Den matematiska bakgrunden till FEM gås igenom i kursen Flervariabelanalys och partiella differentialekvationer.

 

Innehåll

• Kursen startar med analys av deformationer i balkar -ett vanligt konstruktionselement. En ekvation för balkböjning och tabellerade lösningar för denna (s.k. elementarfall) härleds och används. Detta generaliseras till systematiserad förkjutningsmetod.
• Därefter studeras tryckbelastade balkars instabilitet i knäckning. Knäcklasten bestäms genom att undersöka möjliga lösningar till en axialbelastad balks differentialekvation. Några ger upphov till elementarfall som omnäms de fyra Eulerfallen. Dessa härleds och används vid problemlösning.
• Vidare behandlas allmänna spänningstillstånd översiktligt. Begreppen huvudspänningar och effektivspänningar gås igenom.
• Den allmänna elasticitetsteorins samband behandlas och antaganden som måste göras för att det skall vara möjligt att reducera ett mer komplext elasticitetsproblem i 3D till ett enklare plant problem i 2D gås igenom.
• Elasticitetsekvationerna löses för det rotationssymmetriska fallet och används för att dimensionera t.ex. tryckkärl och krympförband.
• Vidare studeras spänningskoncentrationer kring lokala geometriförändringar, anvisningar, hål och käl.
• En introduktion till högcykelutmattning och dimensionering mot utmattningsbrott ges. Dimensionering av enkla strukturer utsatta för varierande och återkommande laster uppskattas så att risken för utmattning kan minimeras.
• Den linjära brottmekaniken och enkla brottmekaniska beräkningar med hjälp av elementarfall gås igenom.
• En introduktion till finita elementmetoden (FEM) ges och med hjälp av metoden, samt FE-programmet ANSYS, analysera hållfasthetsproblem för olika strukturer. Detta gör genom projektuppgiften. 

 

Schema

Se TimeEdit för detaljer.

Detaljerat schema för föreläsningsinnehåll, rekomenderade hemuppgifter, etc. kommer senare.

 

Kurslitteratur

1. Introduktion till Hållfasthetslära – Enaxliga tillstånd, Ljung, Saabye Ottosen och Ristinmaa, Studentlitteratur, 2007
2. Hållfasthetslära – Allmänna tillstånd, Saabye Ottosen, Ristinmaa & Ljung, Studentlitteratur, 2007
3. Handbok och formelsamling i hållfasthetslära, Bengt Sundström, KTH, Stockholm, 1998
4. Exempelsamling i hållfasthetslära, Möller, Skrift U77b, Institutionen för hållfasthetslära, Chalmers, Göteborg, kan laddas ned från Canvas

Det är också bra att ha någon referenslitteratur för Python, exempelvis boken Programmering, modellering och simulering i Python, Per Jönsson, Studentlitteratur, 2022

Allt utdelat material, föreläsningsanteckningar, gamla tentor samt övrig information hittas här på Canvas och kommer göras tillgängligt under kursens gång.

 

Kursens upplägg

• Kursen går i läsperiod 4 och ger efter examination 7,5 högskolepoäng (6 poäng för tentamen och 1,5 poäng för projektuppgift). Undervisningen bedrivs på campus. Föreläsningar och räkneövningar med motsvarande material kommer också att laddas upp på Canvas.
• Kursen omfattar ca 40 timmar föreläsningar och ca 30 timmar räkneövning i föreläsningssal. Det är ca 30 timmar handledning i datorsal och ca 30 timmar räknestuga. Under räknestugorna arbetar du självständigt med möjlighet att få hjälp av lärare.
• Vid problemlösning kommer vi ofta använda programmeringsspråket Python (framförallt paketen SymPy och NumPy). Det är därför rekommenderat att ha en installation av Python på sin egna dator. För installationsanvisningar, se material från er introduktionskurs i programmering; kursen i linjär algebra; eller instruktioner online. 

 

Förändringar sedan förra kurstillfället

• Alternativ lösningsmetod för balkar och instabilitetsproblem (systematiserad förskjutningsmetod)
• Python som hjälpmedel vid problemlösning (lösa ekvationer, beräkna egenvärden, derivera, integrera, etc.)
• Tentamen i datorsal (för att möjliggöra tillgång till Python)
• Projekuppgift:
  • Uppdaterade deluppgifter 
  • Ny deluppgift om strukturoptimering 
• Ny examinator

Studentrepresentanter

TKMAS   robin.ewen9@gmail.com   Robin Ewen
TKMAS   amanda-hansen@telia.com Amanda Hansen
TKMAS   david.j.hermansson@telia.com    David Hermansson
TKMAS   valter.isaksson@gmail.com       Valter Isaksson
TKMAS   axel.lassesgarden@gmail.com     Axel Lassesgården

Lärandemål

Övergripande mål

Efter avslutad kurs skall du kunna:

• Ställa upp och lösa matematiska modeller av konstruktioner samt bedöma en lösnings rimlighet.
• Bestämma belastningar på en konstruktion och dess delar.
• Dimensionera mot brott, plasticitet, stabilitet, och utmattning med tillämpning i vanliga lastbärande element såsom stänger, balkar, axlar, skivor.
• Dimensionera förband såsom svetsar, limfogar, kläm- och skruvförband.
• Beskriva hur materialval påverkar konstruktioners funktion och livslängd.
• Avgöra ifall relativt enkla analyser är tillräckliga eller ifall noggrannare analyser krävs.

Med kunna avses här att ha tillräckliga kunskaper om grundläggande lagar och begrepp för att  välja rimliga matematiska modeller, formulera modellerna i ekvationer och lösa dessa samt
bedöma rimligheten i lösningarna och därefter dra slutsatser om konstruktionens funktion och livslängd. 

 

Detaljerade lärandemål

• Härleda och använda differentialekvationen för en balks utböjning för att bestämma deformation, tvärkraft och momentfördelning.
• Använda elementarfall för att bestämma snittkrafter och deformationer. Använda systematiserad förskjutningsmetod för att analysera balkstrukturer (statiskt bestämda och obestämda).
• Härleda och lösa differentialekvationen för axialbelastad balk.
• Bestämma den kritiska lasten vid elastisk instabilitet (knäcklasten) för tryckbelastade balkar med hjälp av differentialekvationen för axialbelastad balk och/eller med hjälp av Eulers knäckfall. 
• Utföra linjäriserad knäckningsanalys för att uppskatta kritisk last för balkstrukturer.
• Förklara innebörden av och använda Hookes generaliserade lag för elastiska och termoelastiska material.
• Bestämma huvudspänningar och huvudspänningsriktningar.
• Beräkna spänningar och töjningar i godtyckliga snitt i 2D och 3D.
• Härleda och använda formlerna för spänningar och töjningar i tunnväggiga cylindriska och sfäriska tryckkärl.
• Beräkna effektivspänningen enligt von Mises och Tresca. Använda von Mises och Trescas flyt/brottvillkor för att avgöra om risk för plasticering eller brott föreligger vid fleraxliga belastningar.
• Härleda och lösa elasticitetsekvationerna för rotationssymmetriska rör och skivor utsatta för trycklaster, temperaturlaster och rotationslaster samt dimensionera krympförband.
• Beräkna spänningskoncentrationer vid anvisningar, kälar och hål med hjälp av handbok.
• Beräkna spänningar och deformationer i ett plant elastiskt problem med hjälp av finita-elementmetoden,
• Beräkna spänningar, deformationer, kritiska laster för stabilitet och uppskatta antal lastväxlingar till brott med hjälp av finta-elementprogrammet  ANSYS för elastiska balkar, plana skivor och importerade 3D-cadmodeller.
• Använda den linjära brottmekaniken för att beräkna spänningstillståndet vid sprickor och avgöra om risk för sprickpropagering eller brott föreligger.
• Beskriva grunderna för utmattningsdimensionering och dimensionera mot högcykelutmattning för enkla geometrier och lastfall.
• Vara orienterad kring Paris lag för att bestämma spricktillväxt och antal lastväxlingar till brott.
• Grafiskt presentera deformationer och spänningar i en konstruktion.
• Kunna arbeta ingenjörsetiskt med hållfasthetsproblem dvs basera beräkningar och simuleringar på fysikaliska lagar och/eller beprövade metoder samt dokumentera väl.
• Kunna diskutera kring etiska dilemman i hållfasthetslära.

 

Förkunskaper

Kursen Hållfasthetslära bygger på och är en direkt fortsättning på kursen Statik & Hållfasthetslära.

Vi använder följande från linjär algebra:

• Vektorbegreppet.
• Linjärt beroende och oberoende vektorer.
• Skalär- och kryssprodukt.
• Matrisalgebra för att lösa måttligt stora ekvationssystem.
• Egenvärdesproblem.

Vi använder följande från matematisk analys:

• Elementära funktioner: potens-, exponential-, logaritm-, trigonometriska och hyperboliska funktioner.
• Integralkalkyl med linjeintegraler och multipelintegraler: för att bestämma area, tyngdpunkt, längd av kurvor och yttröghetsmoment.
• Differentialkalkyl: För derivator, kurvritning och extremvärden.
• Linjära differentialekvationer. Även separabla ekvationer och system av ekvationer.
• Homogenlösning och partikulärlösning. Randvärdesproblem. Eulers differentialekvation för balkböjning.
• Grundläggande teori för partiella differentialekvationer

Vi använder följande från programmering:

• Grundläggande datatyper (heltal, flyttal, strängar, listor, tupler)
• Numeriska vektorer, matriser: indexering och operationer på dessa (skalärprodukt, multiplikation, transponat, invers, egenvärden)
• Funktioner (anropa och definiera egna)
• programmering
  • logiska uttryck, if-satser, for-loopar
• grafik och visualisering

 

Examination

Examinationen består av en skriftlig tentamen och godkänd projektuppgift. Kursbetyg bestäms utifrån tentamensresultat. 

Skriftlig tentamen

Tentamen skrivs i datorsal med tillgång till Python för problemlösning. Tentamen omfattar 5 uppgifter och varje uppgift kan ge 5 poäng. Maximal poäng på tentamen är 25. 
För godkänd krävs minst 10 poäng.

Tillåtna hjälpmedel vid tentamen är:

1. Introduktion till Hållfasthetslära – Enaxliga tillstånd. Ljung et al.
2. Hållfasthetslära – Allmänna tillstånd. Saaby, Ottosen et al.
3. Matematiska tabeller och formelsamlingar, tex Beta Mathematics Handbook. Råde & Westergren
4. Typgodkänd räknare
5. Handbok och formelsamling i hållfasthetslära. Sundström
6. Stångens, axelns och balkens differentialekvationer, Inst. för teknisk mekanik
7. Differentialekvationen för axialbelastad balk, Inst. för tillämpad mekanik
8. Rotationssymmetriska elasticitetsproblem, Inst. för teknisk mekanik
9. Mekanikformler, Japp, Inst. för teknisk mekanik
10. Referensbok för programmering i Python, tex Programmering, modellering och simulering i Python, Per Jönsson, Studentlitteratur, 2022

OBS! I läroböckerna 1–3 får anteckningar finnas på befintliga sidor, dock inga lösta exempel. I övriga hjälpmedel tillåts inga egna anteckningar.

Betygsgränser för slutbetyg:

Betyg	Poäng på tenta inklusive bonuspoäng
3	10 – 14,5
4	15 – 19,5
5	20 – 25

 

Övningsskrivningar med möjlighet till bonuspoäng

Det är två frivilliga övningsskrivningar (ÖS) inplanerade. Varje övningsskrivning kan ge 2 bonuspoäng (dvs maximalt 4 bonuspoäng totalt) att ta med till läsårets tentor (ordinarie tentamen och två omtentor).

• Övningsskrivning 1: fredag den 12:e april, 13:00-15:00 
• Övningsskrivning 2: fredag den 3:e maj, 13:00-15:00 

 

Projektuppgift

I kursen ingår en obligatorisk projektuppgift uppdelad i fyra delar. Godkänd projektuppgift ger 1,5 högskolepoäng och får lösas i grupper om maximalt två teknologer. 

Uppgifterna redovisas vid datorn genom att presentera efterfrågade resultat och svara på frågorna i respektive uppgifts lydelse. Som en del av redovisningen (och för att göra den mer tidseffektiv) skall en kort rapport med efterfrågade grafer mm finnas förberedd vid redovisningstillfällena. Vid redovisningstillfället skall alla gruppmedlemmar närvara och kunna svara på frågor.

Projektuppgiften består av följande delar:

1. Analys av en kontinuerlig balk
2. Stabilitetsanalys av axialbelastad ram
3. Spänningsanalys av en plan skiva med hål
4. Topologioptimering

Vid lösning av uppgifterna kommer studentversionen av Finita Element-programmet ANSYS användas, som också är installerad i datorsalarna. Versionen är begränsad men räcker gott till problemen i kursen. Denna studentversion kan laddas ned på egen dator från http://www.ansys.com/Student men finns endast för PC och installationen kräver 50+ GB. 

För sista datum för redovisning för respektive deluppgift, se  Uppgifter.