MVE655 Flervariabelanalys H24

Efter att ha studerat matematisk analys i en variabel och linjär algebra ger vi oss nu in i flervariabelanalysens spännande värld. Vi kommer att studera funktioner av flera variabler och hur sådana funktioner kan deriveras och integreras.

För information om kursmål, lärare, examination mm, se separat kurs-PM.

Som kurslitteratur används i år (liksom förra året) boken Flerdimensionell analys av Månsson & Nordbeck, samt tillhörande övningsbok.

Övningsboken kompletteras med häften med extra övningsuppgifter:

Här är extra övningsuppgifter för derivata-delen av kursen (motsvarande föreläsning F1-F12).

Här är extra övningsuppgifter för integral-delen av kursen (motsvarande föreläsning F13-F25)

Längst ner på denna kursöversikt och under fliken Moduler finns även kompletterande kursmaterial och länkar till externt material (och filmer) som kan vara till hjälp vid studierna.

Undervisningen

Föreläsningar:

Varje vecka är det schemalagt fyra föreläsningar och två övningar (se schema i TimeEdit). På föreläsningarna presenteras det teoretiska innehållet, som också förtydligas med exempel och visualiseringar. Genomgångarna varvas också ibland av interaktiva moment där deltagarna själva får öva på enklare uppgifter.

För bäst utbyte av föreläsningarna förbereder du dig genom att läsa motsvarande avsnitt i kursboken (se föreläsningsplan nedan). Även You Tube filmerna av Månsson (och andra) kan med fördel användas som förberedelse inför föreläsningarna. Länkar till lämpliga filmer till resp. föreläsning hittar du i "Filmer" under resp. föreläsning i Moduler. Där kommer även föreläsningsanteckningar publiceras, men det sker först efter genomförd föreläsning.

Övningar:

Övningarna är i huvudsak tänkt som ren frågestund, med möjlighet att ställa enskilda frågor. Inga genomgångar/demoräknande eller liknande är planerade för övningslektionerna.

Rekommenderade övningsuppgifter finns i programplanen nedan.

Duggor:

Under kursen erbjuds 6 stycken frivilliga duggor. Tre av dem (Dugga 2,4 & 6) kan ge bonuspoäng för att uppnå gränsen för godkänt på kursen (dvs. betyg 3) och övriga tre (Dugga 1,3 & 5) kan ge bonuspoäng för att uppnå gränsen för överbetyg (dvs. betyget 4 eller 5). obs! Eventuella bonuspoäng från godkäntduggorna (2,4 & 6) kan inte medräknas för att erhålla överbetyg!

Varje godkänd dugga ger 1 bonuspoäng (till motsvarande betyg). Information om antal uppgifter i respektive dugga och hur många rätt som krävs för godkänt, samt andra villkor och instruktioner, finns beskrivet när du öppnar respektive dugga. Du kan också läsa mer om poäng och betygsgränser under Examination i kurs-PM.

Duggorna genomförs i det web-baserade systemet Möbius, och öppnas succesivt under kursens gång (länkar finns under fliken Moduler). Varje dugga öppnas på måndag kl.12 och är öppen i två veckor. Dugga 1 öppnas i läsvecka 1, dugga 2 i läsvecka 2, osv.

Dugga 1,3 & 5 har fokus på visualisering av vissa begrepp och metoder i kursen, för vilket man behöver använda lämpligt programmerings/beräkningsverktyg som t.ex. Python eller Matlab. Som stöd för genomförandet finns det (under separat Modul) Pyhton - och Matlab-filer, samt kompletterande stenciler, som beskriver relevanta kommandon och metoder.

Dugga 2,4 & 6 innehåller uppgifter av mer beräkningsmässig karaktär, liknande de som ingår i listan av rekommenderade uppgifter.

Tillbaka till toppen

Program

Rekommenderade övningsuppgifter:

I program-planen nedan finns angivet rekommenderade övningsuppgifter, motsvarande innehållet i respektive föreläsning. Uppgiftsnummer som inleds med E avser uppgifter från häftena med extra övningsuppgifter (E1 är derivatadelen och E2 är integraldelen). Övriga uppgifter är från övningsboken av Månsson & Nordbeck.

Här är också en pdf-fil med sammanställning över alla rekommenderade övningsuppgifter.

Till uppgifterna i övningshäftena finns lösningsförslag och svar längre bak i häftena. Till uppgifterna i övningsboken av Månsson & Nordbeck har studenter i Lund gjort lösningsförslag till de flesta uppgifterna (här är en länk). Jag har dock inte själv någon del i dessa lösningar och inte kontrollerat dess korrekthet, och fritar mig däför allt ansvar för ev. felaktigheter i dessa lösningar. Kanske kan de ändå vara till viss hjälp.

Uppgifterna är uppdelade i följande tre kategorier;

Uppgifter i rött och understrukna t.ex. 6 är i allmänhet enkla instuderingsuppgifter, som det rekommenderas att man angriper först och skall betraktas som ett absolut minimum för att ligga någorlunda i fas med föreläsningsplanen.
Uppgifter i blått utan någon speciell markering t.ex. 7 är normala uppgifter på godkäntnivå.
Uppgifter i svart som markerats med en stjärna efter sig t.ex. 8* kan betraktas som överbetygsuppgifter och jobbas med i mån av tid och ambition.

Föreläsningsmaterial:

Under fliken Moduler (se menyn till vänster) publiceras föreläsningsmaterial i takt med att kursen framskrider. Där finns också kompletterande material, länkar till (externa) föreläsningsvideos mm för respektive föreläsning.

Föreläsning	Innehåll	Övningsuppgifter
Läsvecka 1
Föreläsning 1 4 nov, kl.8:00-9:45	Presentation av kursen, Geometri i $LaTeX: \mathbb{R}^n$ - vektorer, koordinater, avstånd (1.4), Tolkning av ekvationer och olikheter i två och tre variabler, samt system av sådana (2.1, 2,2).	Kap 2: 6, 11 E1: 1-4, 5-7
Föreläsning 2 5 nov, kl.8:00-9:45	Mer om andragradsytor (föreläsningsanteckningar + stencil), Några mängd-topologisk begrepp - omgivning, inre/yttre/rand-punkt, öppen, sluten, begränsad, kompakt mängd, komplementet (1.2), Koordinatbyten (3.2) - speciellt polära, sfäriska och cylindriska koordinater (2.3)	Kap 2: 7, 8, 9, 14, 15 E1: 9, 10, 11, 12
Föreläsning 3, 6 nov, kl.10:00-11:45	Funktioner från $LaTeX: \mathbb{R}^n$ till $LaTeX: \mathbb{R}^m$ (allmänt) och sammansättning av sådana funktioner (3.3), Funktionsbegrepp - begränsad, injektiv, bijektiv, invers (3.2) Reellvärda funktioner av två resp. tre variabler, Definitionsmängd, Grafer (3.1)	Kap 3: 2, 3, 4b E1: 14, 15a, 15bc, 16, 17, 18, 19
Föreläsning 4 7 nov, kl.8:00-9:45	Nivåkurvor och nivåytor (3.1) Gränsvärde, Kontinuitet (3.4)	Kap 3: 8, 10, 18, 21, 22 E1: 20-22, 23, 24ab, 24c, 25abcfg, 25dej, 25hi, 26, 27abc, 27d, 28, 30, 31, 34*, 36
Läsvecka 2
Föreläsning 5 11 nov, kl.8:00-9:45	Partiell derivata, Tangentplan, Normallinje (4.1)	Kap 4: 2ab, 3, 4, 6, 7, 45* E1: 37, 38
Föreläsning 6 12 nov, kl.13:15-15:00	Differentierbarhet, Samband mellan olika regularitet, Funktionalmatris/Jacobimatris (4.2, 6.3), Differentialer och Linjärisering (4.5, 6.3)	Kap 4: 38, 39, 40, 44* Kap 6: 9, 10, 13, 35 E1: 40, 41, 43, 45, 46, 48, 49, 50
Föreläsning 7 $LaTeX: \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$ 13 nov, kl.10:00-11:45	Kedjeregeln (4.3, 6.3), Derivator vid variabelbyten (4.3, 4.6), Högre derivator (4.6), Kedjeregeln på andraderivator (4.6), Bevis av kedjeregeln (4.8) - läs själva i boken och/eller föreläsningsanteckningar.	Kap 4: 8, 10, 13-15, 59 Kap 6: 11 E1: 51, 52, 53, 54-57, 58
Föreläsning 8 14 nov, kl.8:00-9:45	Gradient och riktningsderivata - maximal/minimal riktningsderivata, tangent och normal till nivåkurva, tangentplan och normal till nivåyta (4.1, 4.4)	Kap 4: 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 26, 27, 28, 30, 31,* 32, 34, 36, 37, 64, 84 E1: 59, 60, 62, 63-65, 67, 68, 69, 70, 71
Läsvecka 3
Föreläsning 9 18 nov, kl.8:00-9:45	Inversa och Implicita funktionssatsen, Implicit derivering, Funktionaldeterminant/Jacobideterminant (6.4)	Kap 6: 19, 21, 22, 23, 25, 27, 28, 32, 36 E1:* 72, 73*, 74
Föreläsning 10 19 nov, kl.13:15-15:00	Kort om partiella differentialekvationer - PDE (4.7), Några viktiga PDE i polära, sfäriska och cylindriska koordinater (föreläsningsanteckningar), Byte av variabler i PDE (4.7), Taylorutveckling (5.1)	Kap 4: 9, 11, 12,* 46, 47, 49, 50, 52, 53, 56-58, 60, 65, 77, 78* Kap 5: 1, 3, 62 Kap 6: 30 E1: 75, 77, 78, 79, 82, 83, 84, 86, 87
Föreläsning 11 20 nov, kl.10:00-11:45	Lokala extrempunkter, Stationära punkter, Sadelpunkter (5.2), Villkor för lokal extrempunkt/sadelpunkt, Hessematris (5.2+ föreläsningsanteckningar)	Kap 5: 5, 6, 8, 9, 10ab, 12, 13, 14, 49, 59 E1: 88a, 88bc, 88d, 89, 90, 91, 92*
Föreläsning 12 21 nov, kl.8:00-9:45	Optimering över områden (5.3), Optimering med bivillkor, Lagrange multiplikatormetod (5.4), Gradientmetoden - läs själva i föreläsningsanteckningar och pdf i Modul. Metoden används i dugga 2.	Kap 5: 15, 16, 17, 18, 21, 22, 25, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 46, 51, 57, 58, 63, 64, 65 E1: 93, 95, 96, 98, 100, 102, 103, 104, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114*
Läsvecka 4
Föreläsning 13 25 nov, kl.10:00-11:45	Dubbelintegralens definition och egenskaper, Riemannsummor (7.1, 7.2, 7.5), Beräkning av dubbelintegraler, Upprepad integration, byte av integrationsordning (7.2)	Kap 7: 2, 4, 5, 6-8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 56 E2:* 1a, 1bc, 2ab, 2cd, 3bc, 3d, 4, 5, 6*
Föreläsning 14 26 nov, kl.10:00-11:45	Variabelsubstitution i dubbelintegraler (7.3), Polär substitution i dubbelintegral (7.3)	Kap 7: 18, 19, 22, 23, 24, 27, 29, 55 E2: 7ab, 7c, 8-10, 12, 13, 15, 16, 17, 18*
Föreläsning 15 27 nov, kl.10:00-11:45	Tillämpningar på dubbelintegraler - Area, Volym, Tyngdpunkt (8.1), Trippelintegraler, Upprepad integration, byte av integrationsordning (7.6)	Kap 8: 2, 5, 7, 9, 10, 17 Kap 7: 42 E2: 21be, 21c, 21g, 22, 23, 24*
Föreläsning 16 28 nov, kl.8:00-9:45	Metod för områden som begränsas av funktionsytor ("stickmetoden") och Skivningsmetoden (7.6, 8.1), Variabelsubstitution i trippelintegraler, Cylindrisk och sfärisk substitution (7.6, 8.1)	Kap 7: 43, 44, 46, 48, 50, 51* Kap 8: 2, 13, 46 E2: 21d, 21f*, 28, 29
Läsvecka 5
Föreläsning 17 2 dec, kl.10:00-11:45	Tillämpningar på trippelintegraler - Volym, Massa, Tyngdpunkt, Moment (8.1, 8.2), Medelvärde, Medelvärdessatsen (7.2), Generaliserade integraler (7.4)	Kap 8: 14, 15, 16, 19, 24, 41, 47* Kap 7: 31, 32, 35, 38, 39, 52, 53, 54, 57, 58, 62, 63* E2: 31, 32, 33, 34, 35, 36a, 37ad, 37bce, 38, 39, 43
Föreläsning 18 3 dec, kl.10:00-11:45	Parametrisering av kurvor i planet och rummet, Tangenter till kurvor, Hastighet och accelleration av rörelser utefter kurvor, Reguljära, Enkla, Slutna, Sammansatta och Orienterade kurvor (3.2, 6.1, 6.5), Båglängdselement och längd av kurva (8.3), Kurvintegral dvs. Integral av funktion över en kurva (8.3), Tillämpningar på kurvintegraler - massa och tyngdpunkt av tunn tråd (8.3)	Kap 3: 12a-g, 12h, 16 Kap 6: 2, 3-5 E2: 44abce, 44d, 44fg, 45, 47abd, 47c,* 47e, 48, 49, 50, 51, 52, 53,* 54, 55, 56, 57, 58, 60, 61, 62-64*
Föreläsning 19 4 dec, kl.10:00-11:45	Vektorfält (3.2), Fältlinjer (föreläsningsanteckningar), Kurvintegraler av vektorfält/Tangentkurvintegral, och arbete (9.1, 10.1)	Kap 9: 1-3, 4, 5, 6 Kap 10: 1-3, 4, 5, 6 E2: 65, 66
Föreläsning 20 5 dec, kl.8:00-9:45	Greens formel med exempel (9.2), Bevis av Greens formel (9.2)	Kap 9: 7, 9, 10, 12, 15, 18, 21, 23, 24, 28, 42 E2: 68, 69, 71, 73, 75
Läsvecka 6
Föreläsning 21 9 dec, kl.10:00-11:45	Konservativa fält och (skalär) potential (9.3, 10.1), Hitta potential till potentialfält (4.7, 9.3, 10.1), Villkor för potentialfält, Enkelt sammanhängande område (9.3, 10.1), Kurvintegraler över konservativa fält (9.3, 10.1), Ekvipotential-kurvor/ytor och samband med fältlinjer (9.3, 10.1)	Kap 9: 30, 31, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 43* Kap 10: 7, 8, 9, 11, 12, 13, 62, 64 E2: 67, 76, 78, 79, 80*
Föreläsning 22 10 dec, kl.10:00-11:45	Parametrisering av ytor, Tangentplan och normaler till parametriserade ytor (3.2, 6.2), Areaelement för ytor, Ytintegral dvs. Integral av funktion över en yta (8.4), Tillämpningar på ytintegraler - area av yta, massa och tyngdpunkt av tunt ytskikt (8.4)	Kap 3: 13 Kap 6: 7, 8 Kap 8: 28, 29, 30abc, 30d, 31, 32-35* E2: 81-83, 85-87, 88, 89, 94*
Föreläsning 23 11 dec, kl.10:00-11:45	Reguljära, Sammansatta och Orienterade ytor (6.5), Flödesintegraler/Normalytintegraler (9.4, 10.1), Tillämpningar på flödesintegraler (9.4, 10.1), Ytintegraler på nivåytor - läs själva i föreläsningsanteckningar	Kap 10: 16, 17, 19, 20, 22, 66, 68, 69 E2: 95, 96, 97, 99, 100, 101, 103, 104
Föreläsning 24 12 dec, kl.8:00-9:45	Divergens och rotation, Divergensfria/Källfria fält, Rotationsfria/Virvelfria fält (9.5, 10.3), Gauss sats (9.5, 10.3), Tillämpningar av Gauss sats (9.5, 10.3), Motivering till tolkning av begreppet divergens (9.5+föreläsningsanteckningar), Bevis av Gauss sats (10.3)	Kap 10: 31, 32, 33, 34-36, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44 E2: 96, 97, 105, 106ab, 106cd, 108, 109, 110, 111, 113*
Läsvecka 7
Föreläsning 25 16 dec, kl.10:00-11:45	Stokes sats (9.5, 10.2), Tillämpningar av Stokes sats (9.5, 10.2), Motivering till tollkning av begreppet rotation (9.5+föreläsningsanteckningar), Vektorpotential (10.2), Nablakalkyl (10.3+föreläsningsanteckningar)	Kap 10: 23, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 45, 47-49, 50-53, 55, 56, 60, 61* E2: 116, 117, 118, 119
Föreläsning 26 17 dec, kl.13:15-15:00	Maxwells ekvationer (föreläsningsanteckningar), Härledning av värmeledningsekvationen, Olika typer av randvillkor (föreläsningsanteckningar)
Föreläsning 27 18 dec, kl.10:00-11:45	Tillbakablick på integraldelen av kursen
Föreläsning 28 20 dec, kl.8:00-9:45	Repetition / Genomgång av tenta

Föreläsning

Innehåll

Övningsuppgifter

Läsvecka 1

Föreläsning 1

4 nov, kl.8:00-9:45

Presentation av kursen,

Geometri i $LaTeX: \mathbb{R}^n$ - vektorer, koordinater, avstånd (1.4),

Tolkning av ekvationer och olikheter i två och tre variabler, samt system av sådana (2.1, 2,2).

Kap 2: 6, 11

E1: 1-4, 5-7

Föreläsning 2

5 nov, kl.8:00-9:45

Mer om andragradsytor (föreläsningsanteckningar + stencil),

Några mängd-topologisk begrepp - omgivning, inre/yttre/rand-punkt, öppen, sluten, begränsad, kompakt mängd, komplementet (1.2),

Koordinatbyten (3.2) - speciellt polära, sfäriska och cylindriska koordinater (2.3)

Kap 2: 7, 8, 9, 14, 15

E1: 9*, 10*, 11, 12

Föreläsning 3,

graf_och_nivåkurva.png

6 nov, kl.10:00-11:45

Funktioner från $LaTeX: \mathbb{R}^n$ till $LaTeX: \mathbb{R}^m$ (allmänt) och sammansättning av sådana funktioner (3.3),

Funktionsbegrepp - begränsad, injektiv, bijektiv, invers (3.2)

Reellvärda funktioner av två resp. tre variabler, Definitionsmängd, Grafer (3.1)

Kap 3: 2, 3, 4b

E1: 14, 15a, 15bc, 16*, 17*, 18, 19

Föreläsning 4

7 nov, kl.8:00-9:45

Nivåkurvor och nivåytor (3.1)

Gränsvärde, Kontinuitet (3.4)

Kap 3: 8, 10, 18*, 21*, 22

E1: 20-22, 23, 24ab, 24c*, 25abcfg, 25dej, 25h*i*, 26*, 27abc, 27d*, 28, 30*, 31, 34*, 36

Läsvecka 2

Föreläsning 5

11 nov, kl.8:00-9:45

Partiell derivata, Tangentplan, Normallinje (4.1)

Kap 4: 2ab, 3*, 4, 6, 7, 45

E1: 37, 38

Föreläsning 6

12 nov, kl.13:15-15:00

Differentierbarhet, Samband mellan olika regularitet, Funktionalmatris/Jacobimatris (4.2, 6.3),

Differentialer och Linjärisering (4.5, 6.3)

Kap 4: 38*, 39, 40, 44

Kap 6: 9, 10, 13, 35

E1: 40, 41*, 43*, 45, 46, 48, 49, 50

Föreläsning 7

$LaTeX: \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$

13 nov, kl.10:00-11:45

Kedjeregeln (4.3, 6.3),

Derivator vid variabelbyten (4.3, 4.6),

Högre derivator (4.6),

Kedjeregeln på andraderivator (4.6),

Bevis av kedjeregeln (4.8) - läs själva i boken och/eller föreläsningsanteckningar.

Kap 4: 8, 10, 13-15, 59

Kap 6: 11

E1: 51, 52*, 53*, 54-57, 58

Föreläsning 8

14 nov, kl.8:00-9:45

Gradient och riktningsderivata - maximal/minimal riktningsderivata, tangent och normal till nivåkurva, tangentplan och normal till nivåyta (4.1, 4.4)

Kap 4: 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 26, 27, 28*, 30, 31, 32, 34, 36, 37*, 64, 84*

E1: 59, 60, 62, 63-65, 67, 68*, 69*, 70*, 71*

Läsvecka 3

Föreläsning 9

18 nov, kl.8:00-9:45

Inversa och Implicita funktionssatsen, Implicit derivering, Funktionaldeterminant/Jacobideterminant (6.4)

Kap 6: 19, 21, 22, 23, 25, 27, 28, 32*, 36

E1: 72, 73*, 74

Föreläsning 10

19 nov, kl.13:15-15:00

Kort om partiella differentialekvationer - PDE (4.7),

Några viktiga PDE i polära, sfäriska och cylindriska koordinater (föreläsningsanteckningar),

Byte av variabler i PDE (4.7),

Taylorutveckling (5.1)

Kap 4: 9*, 11, 12, 46, 47, 49, 50, 52, 53, 56-58, 60, 65*, 77, 78

Kap 5: 1, 3, 62

Kap 6: 30

E1: 75, 77, 78*, 79*, 82, 83*, 84, 86, 87*

Föreläsning 11

20 nov, kl.10:00-11:45

Lokala extrempunkter, Stationära punkter, Sadelpunkter (5.2),

Villkor för lokal extrempunkt/sadelpunkt, Hessematris (5.2+ föreläsningsanteckningar)

Kap 5: 5, 6*, 8, 9, 10ab, 12, 13, 14*, 49, 59

E1: 88a, 88bc, 88d*, 89, 90, 91*, 92*

Föreläsning 12

21 nov, kl.8:00-9:45

Optimering över områden (5.3),

Optimering med bivillkor, Lagrange multiplikatormetod (5.4),

Gradientmetoden - läs själva i föreläsningsanteckningar och pdf i Modul. Metoden används i dugga 2.

Kap 5: 15, 16, 17*, 18, 21, 22, 25, 27, 29*, 30*, 31*, 32*, 33*, 37, 38*, 39, 40, 41, 42, 44, 46*, 51, 57*, 58, 63*, 64*, 65*

E1: 93, 95, 96, 98, 100*, 102*, 103, 104, 106, 107, 108*, 109*, 110*, 111*, 112*, 113*, 114*

Läsvecka 4

Föreläsning 13

25 nov, kl.10:00-11:45

Dubbelintegralens definition och egenskaper, Riemannsummor (7.1, 7.2, 7.5),

Beräkning av dubbelintegraler, Upprepad integration, byte av integrationsordning (7.2)

Kap 7: 2, 4, 5, 6-8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17*, 56

E2: 1a, 1bc, 2ab, 2cd, 3bc, 3d*, 4, 5*, 6*

Föreläsning 14

26 nov, kl.10:00-11:45

Variabelsubstitution i dubbelintegraler (7.3),

Polär substitution i dubbelintegral (7.3)

Kap 7: 18, 19, 22*, 23*, 24*, 27, 29*, 55

E2: 7ab, 7c, 8-10, 12*, 13, 15*, 16, 17, 18*

Föreläsning 15

27 nov, kl.10:00-11:45

Tillämpningar på dubbelintegraler - Area, Volym, Tyngdpunkt (8.1),

Trippelintegraler, Upprepad integration, byte av integrationsordning (7.6)

Kap 8: 2, 5*, 7, 9*, 10, 17

Kap 7: 42

E2: 21be, 21c, 21g*, 22, 23*, 24*

Föreläsning 16

28 nov, kl.8:00-9:45

Metod för områden som begränsas av funktionsytor ("stickmetoden") och Skivningsmetoden (7.6, 8.1),

Variabelsubstitution i trippelintegraler, Cylindrisk och sfärisk substitution (7.6, 8.1)

Kap 7: 43, 44, 46, 48, 50, 51*

Kap 8: 2, 13, 46

E2: 21d, 21f*, 28, 29

Läsvecka 5

Föreläsning 17

2 dec, kl.10:00-11:45

Tillämpningar på trippelintegraler - Volym, Massa, Tyngdpunkt, Moment (8.1, 8.2),

Medelvärde, Medelvärdessatsen (7.2),

Generaliserade integraler (7.4)

Kap 8: 14, 15, 16, 19, 24, 41, 47*

Kap 7: 31, 32, 35, 38, 39*, 52, 53, 54*, 57*, 58, 62*, 63*

E2: 31, 32, 33*, 34*, 35*, 36a, 37ad, 37bce, 38, 39, 43*

Föreläsning 18

3 dec, kl.10:00-11:45

Parametrisering av kurvor i planet och rummet, Tangenter till kurvor, Hastighet och accelleration av rörelser utefter kurvor, Reguljära, Enkla, Slutna, Sammansatta och Orienterade kurvor (3.2, 6.1, 6.5),

Båglängdselement och längd av kurva (8.3),

Kurvintegral dvs. Integral av funktion över en kurva (8.3),

Tillämpningar på kurvintegraler - massa och tyngdpunkt av tunn tråd (8.3)

Kap 3: 12a-g, 12h, 16

Kap 6: 2, 3-5

E2: 44abce, 44d*, 44fg, 45, 47abd, 47c, 47e*, 48*, 49*, 50*, 51*, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58*, 60, 61, 62-64

Föreläsning 19

4 dec, kl.10:00-11:45

Vektorfält (3.2), Fältlinjer (föreläsningsanteckningar),

Kurvintegraler av vektorfält/Tangentkurvintegral, och arbete (9.1, 10.1)

Kap 9: 1-3, 4, 5, 6

Kap 10: 1-3, 4, 5, 6

E2: 65, 66

Föreläsning 20

5 dec, kl.8:00-9:45

Greens formel med exempel (9.2),

Bevis av Greens formel (9.2)

Kap 9: 7, 9, 10, 12, 15*, 18*, 21*, 23*, 24*, 28*, 42

E2: 68, 69*, 71, 73, 75*

Läsvecka 6

Föreläsning 21

9 dec, kl.10:00-11:45

Konservativa fält och (skalär) potential (9.3, 10.1),

Hitta potential till potentialfält (4.7, 9.3, 10.1),

Villkor för potentialfält, Enkelt sammanhängande område (9.3, 10.1),

Kurvintegraler över konservativa fält (9.3, 10.1),

Ekvipotential-kurvor/ytor och samband med fältlinjer (9.3, 10.1)

Kap 9: 30, 31, 33, 34*, 35, 36, 38*, 40, 43*

Kap 10: 7, 8, 9, 11, 12, 13*, 62, 64*

E2: 67, 76, 78, 79, 80*

Föreläsning 22

10 dec, kl.10:00-11:45

Parametrisering av ytor, Tangentplan och normaler till parametriserade ytor (3.2, 6.2),

Areaelement för ytor, Ytintegral dvs. Integral av funktion över en yta (8.4),

Tillämpningar på ytintegraler - area av yta, massa och tyngdpunkt av tunt ytskikt (8.4)

Kap 3: 13

Kap 6: 7, 8

Kap 8: 28, 29, 30abc, 30d, 31*, 32-35

E2: 81-83, 85-87, 88*, 89*, 94*

Föreläsning 23

flöde2.png

11 dec, kl.10:00-11:45

Reguljära, Sammansatta och Orienterade ytor (6.5),

Flödesintegraler/Normalytintegraler (9.4, 10.1),

Tillämpningar på flödesintegraler (9.4, 10.1),

Ytintegraler på nivåytor - läs själva i föreläsningsanteckningar

Kap 10: 16, 17, 19, 20, 22, 66, 68, 69

E2: 95, 96, 97, 99, 100, 101, 103*, 104*

Föreläsning 24

flöde.png

12 dec, kl.8:00-9:45

Divergens och rotation, Divergensfria/Källfria fält, Rotationsfria/Virvelfria fält (9.5, 10.3),

Gauss sats (9.5, 10.3),

Tillämpningar av Gauss sats (9.5, 10.3),

Motivering till tolkning av begreppet divergens (9.5+föreläsningsanteckningar),

Bevis av Gauss sats (10.3)

Kap 10: 31, 32, 33, 34-36, 37, 38, 39, 40*, 41, 43, 44*

E2: 96, 97, 105, 106ab, 106cd, 108*, 109*, 110*, 111*, 113*

Läsvecka 7

Föreläsning 25

16 dec, kl.10:00-11:45

Stokes sats (9.5, 10.2),

Tillämpningar av Stokes sats (9.5, 10.2),

Motivering till tollkning av begreppet rotation (9.5+föreläsningsanteckningar),

Vektorpotential (10.2), Nablakalkyl (10.3+föreläsningsanteckningar)

Kap 10: 23, 24, 25, 26, 27*, 28, 30*, 45, 47-49, 50-53, 55*, 56, 60, 61

E2: 116, 117, 118*, 119*

Föreläsning 26

17 dec, kl.13:15-15:00

Maxwells ekvationer (föreläsningsanteckningar),

Härledning av värmeledningsekvationen, Olika typer av randvillkor (föreläsningsanteckningar)

Föreläsning 27

18 dec, kl.10:00-11:45

Tillbakablick på integraldelen av kursen

Föreläsning 28

20 dec, kl.8:00-9:45

Repetition /

Genomgång av tenta

Tillbaka till toppen

Datorlaborationer

Det finns inga schemalagda laborationer i denna kurs. Till de bonusgrundande överbetygsduggorna (Dugga 1, 3 & 5) behövs dock programmerings/beräknings-verktyg som t.ex. Python eller Matlab, men arbetet med dessa sker på egen hand med visst stöd av kompletterande stenciler (finns i separat Modul). Mer info om duggorna finns under avsnittet Undervisning ovan.

Tillbaka till toppen

Kompletterande kursmaterial och länkar

Här är en sida där jag samlat teser (med lösningsförslag) till en del tentor i flervariabelanalys jag gjort på andra jämförbara kurser.

Tillbaka till toppen

Länkar till material och filmer på webben

Här är en länk till You Tube-kanal med filmer där många av begreppen i denna kurs presenteras (på svenska). Filmerna är gjorda av Jonas Månsson som är en av de två författarna till kursboken.
Här är en länk till en öppen kurs i flervariabelanalys vid Massachusetts Institute of Technology (MIT). Den täcker stora delar av vår kurs och innehåller mycket material av olika slag. Bland annat finns det videosnuttar från föreläsningar som kan vara ett intressant komplement till de föreläsningar jag kommer hålla.
Här är en länk till You Tube-kanal med videosnuttar i flervariabelanalys gjorda av Michael Penn från Randolph Collage. Han har för övrigt gjoprt många andra bra och intressanta filmer inom matematik.
Här är en länk till öppen "kurs" (med videos mm) i flervariabelanalys på web-portalen Khan Academy. Videos är gjorda av Grant Sanderson, även känd för sin You Tube kanal 3Blue1Brown.
Finns många böcker om användning av Python för matematik (både visualisering och beräkningar), varav en del finns helt eller delvis åtkomliga på webben. Här är en sådan bok, vars inledande kapitel om visualiseringar och beräkningar i analys är öppna att läsa utan betalning (förhandsgranskning).

Tillbaka till toppen

Course summary:

Date	Details	Due

November 2024

Calendar
Sunday	Monday	Tuesday	Wednesday	Thursday	Friday	Saturday
28 October 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	29 October 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	30 October 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	31 October 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	1 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	2 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	3 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details
4 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	5 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	6 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	7 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	8 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	9 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	10 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details
11 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	12 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	13 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	14 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	15 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	16 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	17 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details
18 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	19 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	20 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	21 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	22 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	23 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	24 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details
25 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	26 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	27 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	28 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	29 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	30 November 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	1 December 2024 Previous month Next month Today Click to view event details
2 December 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	3 December 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	4 December 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	5 December 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	6 December 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	7 December 2024 Previous month Next month Today Click to view event details	8 December 2024 Previous month Next month Today Click to view event details