MVE466 Linjär algebra och analys fortsättning H24

Hoppa fram till i dag

Kurs-PM

På denna sida finns programmet för kursen: föreläsningar och räkneövningar. Övriga uppgifter, såsom t.ex. kursmål, lärare, kurslitteratur, schema för räkne- och datorövningar med övningsledare, och examination (gamla tentor), finns i ett separat kurs-PM.

I kursen finns även två frivilliga duggor, som rekommenderas för att vara i fas i kursen och testa att man förstår materialet. För var och en man klarar får man ett bonuspoäng till tentan. Detaljerad information om dessa finns på en separat sida.

Föreläsningar:

Föreläsningarna kommer att hållas i KE, samt (vid tre tillfällen) i HB-salar: den 6/11 i HB4, den 11/11 i HB2, och den 19/12 i HB1.

Räkne- och datorövningar:

Vi har samma uppdelning i fem grupper (Ka, Kb, Kf, Bta och Btb) som i MVE461.

Program

Kursens schema finns i TimeEdit.

Föreläsningar

Avsnitt markerade med A är från Adams bok och avsnitt med L från Lays bok.

Föreläsning Avsnitt Innehåll Extramaterial

1.1

 A: 5.1–5.5, 2.10 Integraler och deras tillämpningar: primitiv funktion, obestämd integral och tillhörande regler. Summor, area, Riemannsummor, bestämd integral för kontinuerliga funktioner och dess egenskaper. Integralkalkylens huvudsats.

1.2

A: 5.4–5.6
Medelvärdessatsen för integraler (bevis), integralkalkylens huvudsats (bevis), variabelsubstitution, partiell integration, och areaberäkning.

1.3

A: 5.6–5.7, 6.1

Volym (metoden om partiell integration och substitution).

2.1

A: 7.1–7.3

Volym av rotationskroppar. Båglängd och rotationsytor.

2.2

A: 6.2–6.3, 6.5

Integration av rationella uttryck, och partialbråksuppdelning. Exempel med inversa substitutioner. Generaliserade integraler av oändliga funktioner och generaliserade integraler över oändliga intervall.

2.3

A: 2.10, 3.4, 7.9, 19.1, 19.3, appendix I

Ordinära differentialekvationer (ODE), begynnelsevärdesproblem och riktningsfält. Separabla differentialekvationer och linjära differentialekvationer av första ordningen med högerled i A 7.9.

 

3.1

A: 3.7, 19.5-19.6

Numeriska metoder för ODE. Eulers stegmetod. System av differentialekvationer och fasporträtt. Linjära homogena och inhomogena ODE.

Intro till differentialekvationer, youtubefilm.

3.2

A: 3.7, 19.5-19.6

Homogena linjära ODE av andra och högre ordning. Inhomogena linjära ODE av andra ordningen med högerled på speciell form. Komplexa tal, rötter av polynom. Eulers formel för komplex exponent i polär form.

3.3

L: 1.1–1.6
Linjär algebra

Repetition av begrepp från 1.1, 1.2: linjära ekvationssystem, koefficient-matris, trappstegsform, Gausselimination, pivotelement, fri variabel.

Vektorer i Rn, linjärkombination, vektorekvation, linjära höljet/spannet, matrisekvationen Ax=b. Satsen om 4 ekvivalenta villkor för lösbarhet av Ax=b för godtyckligt b.

4.1

L: 2.1

Matrisoperationer och deras räkneregler: multiplikation med skalär, matris-multiplikation, addition, transponerat. Lösningsmängden för ett linjärt ekvationssystem.

Linjära algebrans sammanfattning - tabell med begrepp och satser om linjära ekvationer och linjära transformationer

4.2

L: 1.7–1.8

Linjärt beroende och linjärt oberoende uppsättningar av vektorer. Sats om linjärt beroende uppsättningar av vektorer.

4.3

L: 1.9

Linjära transformationer (avbildningar), standardmatrisen för en linjär transformation (avbildning). Surjektiva och injektiva linjära transformationer. Inverterbara linjära transformationer.

 

5.1

L: 2.2–2.3

Inversen till en matris och hur den beräknas. Explicit formel för inverser av 2x2-matriser. Kriterier för inverterbara matriser, inverterbara linjära avbildningar.

5.2

L: 2.8–2.9, 4.1–4.4

Underrum till Rn, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension.

5.3

L: 3.1–3.3, 5.1–5.2

Determinanter. Egenskaper och geometrisk mening av determinanter. Cramers regel. Egenvektorer och egenvärden.

6.1

L: 5.1–5.3, 5.7

Egenvektorer och egenvärden. Diagonalisering (exempel: 2x2-matriser). Linjära system av differentialekvationer med konstanta koefficienter i planet. Fasporträtt för linjära system av ODE i planet. Linjära system av differentialekvationer av första ordningen med konstanta koefficienter, allmänt fall.

6.2

L: 5.3, 5.7, 6.1

Bevis till huvudsatsen om diagonalisering. Exempel på system av linjära ODE med konstanta koefficienter. Ortogonalitet.

6.3

L: 6.1–6.3

Ortogonalitet, Fredholmsatsen. Ortogonal bas. Ortogonalprojektion på ett underrum. Ortogonala matriser. Bästa approximationssatsen.

7.1

L: 6.4–6.6

 Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod. Minstakvadratmetoden.

7.2

L: 6.5–6.6, 7.1

Tillämpningar av minstakvadratmetoden. Diagonalisering av symmetriska matriser. Spektralsatsen, spektral dekomposition. 

7.3

 

Repetition av teori och typiska problem.

 

 

Tillbaka till toppen

Övningsuppgifter

Nedan listas demonstrationsuppgifter samt rekommenderade övningsuppgifter för egen räkning (hemma och under räkneövningarna). En pdf med samma lista finns här.

Uppgifterna markerade med A är från Adams och uppgifterna med L från Lay. Uppgifter inom parantes demonstreras i mån av tid.

Jimmy Aronssons lösningar på övningsuppgifter (från hösten 2022) finns tillgängliga här (uppdateras under kursens gång).

Extramaterial för den nyfikne (överkurs): Polynomials as vectors.

OBS! Vi arbetar med den sjätte upplagan av Lays bok. Uppgifterna i den är inte samma som i den femte upplagan. Några kan ha samma fråga, men med olika vektorskoordinater. Andra är helt annorlunda.

Tillfälle

Demonstration

Självverksamhet

 1.1

A 2.10: 6
A 5.3: 14
A 5.4: 2, (12, 34) 
A 5.5: 4, 26, (42)

A 2.10: 3, 9, 11, 17, 21, 25
A 5.3: 5, 13
A 5.4: 1, 5, 9, 13, 21, 27, 35
A 5.5: 5, 7, 11, 17, 23, 25, 29, 39, 41, 49

1.2

A 5.5: 44
A 5.6: 4, 16, (18, 42) 
A 6.1: 2, 8, (14)

A 5.6: 1, 3, 5, 6, 7, 9, 17, 19, 23, 43
A 6.1: 3, 5, 7, 13, 19, 21 

2.1

A 5.7: 6
A 7.1: 6, (12)
A 7.2: 2, (15) 
A 7.3: 5, (8, 20)

A 5.7: 1, 3, 9, 15, 19, 27, 29
A 7.1: 3, 5, 7, 11, 14
A 7.2: 7, 11 
A 7.3: 1, 3, 9, 13, 23, 33

 2.2

A 6.2: 10, 20, (28)
A 6.3: (2, 5, 44) 
A 6.5: 8, 10 

A 6.2: 3, 9, 11-15, 21, 23, 27, 29
A 6.3: 3, 7, 9, 29, 43 
A 6.5: 1, 3, 9, 15, 19, 31, 33, 35  

3.1

A 19.1: 4, 6
A 2.10: (40) 
A 3.4: 12, (26) 
A 7.9: 6, (16), 18

A 19.1: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 17
A 2.10: 29, 41, 43
A 3.4: 9, 11, 23, 25, 29
A 7.9: 1, 3, 7, 11, 13, 15, 19, 21

3.2 

 A 3.7: 4, 14, (24)
A 19.6: 4, 12

A 7.9: 32
A appendix I: 7, 13, 37
A appendix II: 27, 29
A 3.7: 1, 3, 5, 7, 13, 15, 17, 25
A 19.6: 3, 5, 7, 9, 11

4.1

Repetera begrepp från L1.1-2
L 1.3: 8, 12, (17) 
L 1.4: 18, (36)

L 1.1: 11, 19, 21, 28, 30, 32, 34
L 1.2: 7, 19, 21, 25, 27, 29, 31, 33
L 1.3: 1, 3, 11, 13, 17, 23, 25, 27, 29, 31, 33 
L 1.4: 1, 3, 7, 9, 11, 17, 35, 46

 4.2

L 1.5: 6
L 1.6: 6
L 1.7: 14, 45

L 1.5: 5, 11, 21, 27, 29, 31, 33, 35, 41, 43
L 1.6:  5, 7 
L 1.7: 1, 5, 7, 9, 21, 23, 25, 27, 39-45

5.1 

L 1.8: (16)
L 1.9: 8, (38) 
L 2.1: 6, 30
L 2.2: 28, 39
L 2.3: 6 

L 1.8: 3, 11, 21, 23, 25, 27, 29, 33, 39, 41
L 1.9: 1, 3, 7, 11, 17, 33, 35, 37, 43
L 2.1: 1, 3, 5, 11, 29, 31, 33, 35 
L 2.2: 1, 7, 9, 23, 25, 29, 31, 33, 41, 43, 45
L 2.3: 1, 3, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 25, 29

 5.2

L 2.8: 10, 34, (40, 42)
L 2.9: 4, 12, 29, (32)
L 3.1: 22
L 3.2: 22 
L 3.3: (6, 28)

L 2.8: 1, 2, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 41, 43
L 2.9:  3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 25
L 3.1: 3, 9, 21, 23
L 3.2: 1, 3, 7, 25, 27, 29, 31, 33, 45
L 3.3: 3, 5, 11, 27

6.1

L 5.1: 6, 12
L 5.2: 14, (18)
L 5.3: (8), 16
L 5.7: 6, 12

L 5.1: 5, 7, 13, 15, 17, 33, 37, 39
L 5.2: 1, 5, 9, 15, 21, 23, 25, 27
L 5.3: 1, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 33
L 5.7: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13

6.2

L 6.2: 10
L 6.3: 8, 12
L 1.4: 14 (via teorem 3 i L 6.1)*

L 6.1: 5, 7, 11, 15, 17, 35
L 6.2: 3, 5, 9, 11, 17, 21, 35, 37
L 6.3: 1, 3, 7, 9, 11, 15
L 1.4: 13, 15, 16 (via teorem 3 i L 6.1)*

7.1

L 6.4: (12) 
L 6.5: 12
L 6.6: 3
L 7.1: 20

L 6.4: 5, 9 
L 6.5: 3, 5, 7, 9
L 6.6: 1, 13, 15
L 7.1: 1, 3, 5, 9, 11, 15

7.2

 Gamla tentor och repetition

Gamla tentor och repetition

*Analysera Nul(A^T) och dess relation med högerledet i systemet.

Tillbaka till toppen

Kurssammanfattning:

Datum Information Sista inlämningsdatum