Dag

Innehåll

3/9

Allmänt om kursen. Beteckningar. Vikten av att hålla sig till konventioner och använda rätt språk.

5/9

Något om matematikens grunder - primitiva begrepp och axiom. Definitioner och bevis av påståenden (satser). Euklidisk, hyperbolisk och sfärisk geometri. Konsistenta teorier. Modeller och exempel (Descartes modell av euklidisk geometri, Kleins och Poincarés modeller av hyperbolisk geometri).

6/9

Talsystem  Utvidgning av talbegreppet.  "Önskelista" vid utvidgningar. Sats: Det finns inget rationellt tal vars kvadrat är 2 (med bevis; motsägelsebevis).

7/9

"Antal element" i oändliga mängder. Uppräkneliga och ouppräkneliga mängder. Cantors diagonalprocess för att visa att de reella talen är ouppräkneligt många. Kontinuum. Funktioner. Injektivitet, surjektivitet, bijektivitet. Invers funktion. Exempel. Kap. 1: 86a.

10/9

Kap. 1: 87f (två fall). Elementära funktioner. Potens- och exponentialfunktioner. Polynom. Nollställen till polynom. Faktorsatsen för polynom - formulering. Att fundera på: potenslagarna för rationella exponenter; sambandet mellan en funktions graf och grafen till dess invers.

12/9

Faktorsatsen för polynom - bevis. Komplexa nollställen till polynom med reella koefficienter förekommer i komplexkonjugerade par. Komplex och reell faktorisering av polynom. Rationella funktioner. Logaritmer. Samband mellan graferna till funktioner som är varandras inverser. Absolutbelopp. Triangelolikheten (uppskattning åt båda håll).

13/9

Trigonometriska funktioner. Avgränsningar för att garantera bijektivitet. Arcusfunktionerna - definitioner och enkla exempel. Matematisk induktion - induktionsaxiomet och bevismetoden. Skillnaden mellan härledning och bevis. Formeln för aritmetisk summa, visad med induktion. "Hästproblemet" - var är haken?

14/9

Arcusfunktioner - exempel med intervallanpassning. Arcusuppgifter: 1a. Induktion: 2,3 (både härledning och induktionsbevis), "Hästuppgiften". Bernoullis olikhet. Pascals triangel.

17/9

 ---

19/9

Induktion: 4, 8. Arcusuppgifter: 2c. Uppskattningen sin x<x, i första kvadranten.

20/9

  4h

Gränsvärdet sin x/x, när x går mot 0 (inklusive uppskattningar). Intuitiv uppfattning om "lemmat om de två poliserna". Binomialkoefficienterna - definition, kombinatorisk tolkning och egenskaper. Binomialsatsen, med kombinatoriskt bevis. Jämförelse mellan exponentialfunktioner, potenser och logaritmer när x går mot oändligheten. Definition av uppåt och nedåt begränsade funktioner. Satsen om existens av gränsvärde för växande uppåt begränsade funktioner (utan bevis). Existens av gränsvärdet som ger talet e (med bevis). Fundera på: vad är längd? vad är area?

21/9

Övriga standardgränsvärden. Definitionen av gränsvärde i termer av omgivningar. Omgivningar till ändliga och oändliga punkter. OBS! Punkten som x går mot tas bort. Illustrationer. Epsilon-delta definitionen. Att fundera på: f går mot + oändligheten då x går mot en ändlig punkt.

24/9

Induktion:10a. Koppling till ett av standardgränsvärdena. Hopningspunkter - definition. Isolerade punkter. Gränsvärdesdefinitionen - variationer. Räkneregler för gränsvärden. Kapi. 2: 8bi, uppgift 1b från öt'12.

26/9

Arcus: 4a. Gränsvärden med hjälp av definitionen: 1/x-->0, då x--> oändligheten, samt roten ur x --> roten ur 2, då x--> 2. Kontinuitet i en punkt och i en mängd - definitioner. Koppling till gränsvärden och illustrationer. Räkneregler.

27/9

Kontinuitet. De elementära funktionerna är kontinuerliga i sina respektive definitionsmängder. Bevis att sin är kontinuerlig (kvadratrötter: gjordes väsentligen vid gränsvärden). Viktiga satser om kontinuerliga funktioner: Satsen om mellanliggande värden (utan bevis). Satsen om existens av max och min av kontinuerlig funktion på slutet och begränsat intervall (utan bevis). Kap. 2: 19, 20, 21.

28/9

Arcusuppgiften från övningstentan HT17. Kap. 2: 9, 11gh, 12, 17b, 14df, 36eh.

1/10

Övningstentan från 29/9 - lösningar. Geometriska följder och summor. Kap. 2: 33ad. Geometriska serier med kvot med absolutbelopp mindre än 1.

3/10

Räknelagar för gränsvärden: summa, produkt, samt produkt av begränsad funktion och funktion som går mot noll. Exempel: f(x)=x sin 1/x. Motsvarande lagar för kontinuitet. Inre och yttre punkter, randpunkter - definition. Deriverbarhet i punkt och i mängd, derivata. Beteckningar. Sats om att deriverbarhet implicerar kontinuitet. Det omvända ej sant, exempel: |x|.

4/10

Kap. 3: 14d. Lista över använda derivator och räknelagar. De elementära funktionernas derivator: heltalspotenser, rötter, exponentialfunktioner, logaritmen, ln |x|, sinusfunktionen. Räknelagar, reglerna för summa och produkt med bevis. Kedjeregeln (endast formulering, bevis kommer senare). Invers funktion: OM derivatan finns, så är den lika med ... . Kap. 3: 13a (+a istället för +1). Tabell över derivatorna man ska kunna utantill. Geometrisk tolkning av derivata. Vad är lutning?

5/10

INSTÄLLD

10/10

Samband mellan derivatans tecken och funktionens monotonicitet. Fermats sats (om derivatan i inre lokala extrema). Medelvärdessatser: Rolle, Lagrange, Cauchy (formulering). Bevis av Rolles och Lagranges satser. Rolles sats: ett specialfall, ur vilket det generella fallet följer. Tillbaka till sambandet mellan derivatans tecken och funktionens monotonicitet: positiv derivata ==> strängt växande funktion etc.

11/10

 4h

Satsen om att funktion med derivata 0 på ett intervall är konstant ("integralkalkylens huvudsats"). Motexempel om mängden inte är ett intervall. Satsen om invers funktions derivata. Derivatorna av den naturliga logaritmen, kvadratroten, arcsin och arctan, härledda med hjälp av satsen om invers funktions derivata. Derivator av högre ordning. Konvexa och konkava funktioner. Samband mellan konvexitet och andra derivatans tecken. Inflexionspunkter. Asymptoter - vertikala och sneda. Grafritning: f, f' och f", tabell. Exempel: f(x)=ln x/x.

15/10

 4h

Kap. 4: 1e (fullständig analys och graf), 12a, 13a. Bevis av olikheter och identiteter med hjälp av derivator. Kap. 4: 15d, 31. Primitiva funktioner - definition. Algebraisk förberedelse för integration av rationella funktioner: satsen om eventuella rationella nollställen till polynom med heltalskoefficienter; reell faktorisering vid kända nollställen; partialbråksuppdelning. Metoder att bestämma de obekanta koefficienterna. Varför får man sätta in de "förbjudna" värdena? Exempel: funktionerna ur kap. 5: 23b, 24a, 31a. Tabell över primitiva funktioner. Kontinuerliga funktioner på intervall har primitiva. Satsen om kopplingen mellan två primitiva till samma funktion på ett intervall. Konstanten ifall mängden inte är ett intervall. Linearitet.

17/10

"Chalmersintegralen" (kap. 5, 37a) m.h.a. partiell integration. Olika variabelsubstitutioner i integraler av rationella funktioner av x och vissa rotuttryck. Universalsubstitutionen för integration av rationella funktioner av sin x och cos x. En integral med rationell funktion av olika rötter av x. Kap. 5: 39a. Riemannintegralen. Vad är area? Riemannsummor och deras intuitiva "gränsvärden". Supremumaxiomet.

18/10

Supremumaxiomet för reella tal. Darbouxsummor och deras egenskaper. Stringent definition av Riemannintegralen med hjälp av Darbouxsummor. 

19/10

Kategorier av Riemannintegrerbara funktioner. Dirichlets och Riemanns funktioner. Integralens egenskaper, motiverade av Riemannsummorna. Integralkalkylens medelvärdessats.

22/10

Integralkalkylens medelvärdessats  för "omvända" integrationsgränser. Analysens huvudsats (Newton-Leibniz). Insättningsformeln. Partiell integration och variabelsubstitution för Riemannintegraler (som en följd av insättningsformeln). Generaliserade integraler av båda typerna. Jämförelsesatsen (med bevis). Integraler av potenser av x i intervall som angränsar till oändligheten och till noll. Kap. 6: 6, 28b. Absolut- och betingad konvergens. Absolut konvergens medför konvergens (utan bevis). Exempel på betingat konvergent integral.

24/10

Talsystem. De reella talens viktiga egenskaper (supremumaxiomet och satsen om mellanliggande värden). Induktionsaxiomet, bevis av binomialsatsen med hjälp av induktion. Gränsvärden, allmän definition och översättningar till konkreta situationer. Bevis av instängningslagen med hjälp av epsilon-delta-resonemang.

25/10

Kontinuitet, viktiga satser om kontinuerliga funktioner. Deriverbarhet, viktiga satser om deriverbara funktioner. Alternativ definition för deriverbarhet. Ekvivalens mellan de två definitionerna. Bevis av kedjeregeln med hjälp av den alternativa definitionen för deriverbarhet. Generaliserade integraler, uppskattningar. Kap. 6:32abcd.