W1: dugga 1 grunder (1p); Veckans motto: gymnasiet matte i en vecka; Problem som kommer att diskuteras under övningar hittas här. Titta gärna på dessa problem i förväg. Läraren kommer att lösa på tavlan problemen som upplevs som svårast. Anteckningar: W1-L1-anteckningar, W1-L2-anteckningar, W1-L3-anteckningar.

L1 bakgrund/mängder

Den röda tråden:

Mängd är en av de viktigaste koncept inom matematik och en viktig byggsten för allt som följer i kursen, och senare i yrkesliv. Några exempel: det är ganska svårt satt fundera vad funktion betyder om man inte kan idéer bakom olika tal mängder; det är svårt att skriva objekt orienterad program om man inte behärskar mängder och operationer med mängder. Vi börjar kursen med att diskutera några typer av mängder: talmängder, mängder som en del av tallinje , mängder som en del av x.

Kort presentation av kursen

• Examinationsstruktur
• den skriftliga tentamen
• duggor ger extra (bonus) poäng
• frågor välkomnas
• varför är det viktigt att inte missa början på lektioner (upprepning)
• relationen mellan föreläsningar och boken: använd boken! studenter förväntas läsa ganska mycket på eget hand
• How to handle exercises in the book
• How to handle dugga
• Course representatives och hur vi jobbar tillsammans

W1-L1

L2 bakgrund/funktioner

Den röda tråden

Hur kan man formalisera operationer med tal? Hur kan man formalisera vad en dator gör? Vilka matematiska abstraktioner lämpar sig att beskriva en dator som löser en optimerings problem? Alla dessa frågor har ett enkelt svar: funktion. Vi diskuterar i detalj hur man kan definiera funktioner och diskuterar tekniker för att arbeta med funktioner. Vi börjar med några enkla exempel: polynomer och trigonometriska funktioner.

W1-L2

L3 bakgrund/funktioner

Den röda tråden

Vi fortsätter med att diskutera funktioner och introducerar mera abstrakta idéer som invers funktion, implicita funktioner, hur man kombinerar olika funktioner, och vi går igenom några exempel av viktiga inversfunktioner.

W1-L3

L1 gränsvärdet: grunder

Den röda tråden

Hur beter sig sin(x)/x när x->0? Om man räknar för hand då ser man att sin(x)/x för x=0.1, 0.01, 0.001, etc producerar en tal serie som verkar närma sig 1. Hur kan man formalisera detta?

Viktig läsning

• limits at infinity
  • formal definition: epsilon-delta argument (ADAMS-Def 10)
  • examples
  • properties
  • example using properties
• one sided limits: formal definitions (epsilon-delta) and examples
  • from the right (ADAMS-Def 9)
  • from the left (ADAMS-Def 9)
• ADAMS-Theorem 1: the limit exists if both one sided limits exist
• properties of limits: how to find a limit from a known limit: formulas are the same for limits at infinite and finite limits
• apps: code examples where limit evaluation makes the code more robust!
• 1.2 Limits of functions
• 1.3 Limits at infinity and infinite limits
• 1.5 The formal definition of Limit

Relevanta problem

• limits from a graph: 1.2:1
• evaluate limit: 1.2:7,17,21
• limit exists? value?: 1.2: 49
• limit rules training: 1.2: 65
• +/- infty limits: 1.3:1,27,29

Lärande mål

• explain the difference between the concepts the limit in a point and the value in a point
• explain why when analyzing limit in a point we do not care about the function value in that point
• explain different types of limit
• being able to evaluate limits of analytical expressions that involve based functions
• explain why two functions that are not equal can have the same limit in a point
• judge which type of limit an expression involves: 0/0, 1/0, etc.
• solve epsilon-delta problem for a fixed numerical epsilon (answer in a complex interval form)
• being able to list and use limit operations

Rekommenderade videon

• inga

Anteckningar

L2 gränsvärdet tillämpningar: kontinuitet

Den röda tråden

Vi har en ganska naturlig känsla av vad en kontinuerlig linje är. Tex. om man kan rita linjen utan att lyfta upp pennan, då har man en kontinuerlig linje. Om vi kan rita grafen av en funktion på detta sätt då är det rymligt att anta att vi jobbar med en kontinuerlig funktion. Kan man formalisera sådana idéer utan att referera till en penna som lyfts eller inte lyfts upp?

Viktig läsning

• continuity at a point
  • right continuity (right limes = value)
  • left continuity (left limes = value)
  • continuity in an interior point
  • two-sided limes = value
  • the above as the epsilon/delta argument
  • overarching continuity definition that covers all cases
  • thm: simultaneous left/right continuity in a point ó continuity in an inner point
• definition of the continuity on an interval
• definition of the continuity on a domain
• example: is function 1/x continuous?
• there are many continuous functions
• thm: how to obtain new functions from combining continuous functions
  • algebraic operations
  • composition
• thm: intermediate value theorem
• thm: min/max
• apps: finding roots of equations
• 1.4 Continuity
  • Continuity at a point
  • Continuity on an Interval
  • There are lots of continuous functions
  • Continuous Extensions and Removable Discontinuities
  • Continuous Functions on Closed, Finite intervals
  • THEOREM 7: composites of continuous functions are continuous
    • limit of a composite function theorem

Relevanta problem

• continuity from a graph: 1.4:1,3,2
• identify continuity options at points in a domain: 1.4:7-12
• redefine a function so that it is continuous: 1.4: 15, 17
• min/max theorem applications: 1.4: 19, 22, 23
• epsilon/delta essentials (non-abstract, very concrete problems): 1.5:3,4,7
• find intervals on which functions are positive/negative: 25-28

Lärande mål

• explain why when analyzing continuity in a point we do not care about the function value in that point
• explain different continuity types (left, right, interior point)
• explain how the continuity on a domain is defined
• use min/max theorem to solve practical problems
• use intermediate value theorems to solve practical problems
• perform a full continuity analysis of a function (for every point in a domain)
• quickly identify discontinuity points if such exist

Rekommenderade videon

• inga

Anteckningar

L3 derivata grunder

Den röda tråden

Hur kan vi beskriva hur snabbt en massa rör sig över tiden? Kan vi säga exakt hur mycket en bil accelererar i varje tidpunkt? Alla dessa frågor har en matematisk fråga gemensamt: Kan vi beskriva hur mycket en funktion ”ändrar sig” i en punkt? Tex kan vi säga hur mycket funktionen f(x)=x^2 ändrar sig i punkten x=1?

Viktig läsning

• differentialler: och
• derivative definition as limes
• graphical meaning of the derivative: tangent in a point
• using derivative to approximation an function with a liner function
  • example of approximation: approximate x² with a linear function in the point x=1
• some derivatives of simple functions: x², xⁿ,
• rules for derivatives with examples
  • (x+x²)’
  • (x*x²)’ and compare with (x³)’,
  • (x³/x)’ and compare with (x²)’
• derivative of a function composition
  • example
• differentials: the meaning of df/dx
• using the composition rule to find derivatives of inverse functions
  • examples: ,
• thm: mean value
• apps: describing change
• 2.1 Tangent Lines and Their Slopes
• 2.2 The derivative
• 2.3 Differentiation rules

Relevanta problem

• generic understanding of a derivative, sketch f’(x) of a graph of f(x) is given: 2.2: 1-4
• where is a function differentiable: 2.2: 5,6
• calculate the derivative of a given function: 2.2: 11-24; 2.3: 1-30
• generic understanding of a derivative: 2.2: 25,26
• identify the points where the function is not differentiable: 2.2: 27
• find the equation of a tangent line at a point: 2.2: 30-33, 48; 2.3: 41, 46, 48 (could be an exam question)
• more complex derivative that require the composition rule: 2.2: 40, 41, 42, 43 (similar to a dugga); 2.3: 33-36; 2.4: 1-8 (enkelt kedjeregeln), 19-21 (kedjeregeln och generalized power rule)
• find the equation of a normal to the curve: 2.2: 45, 46
• derivatives of inverse functions: 2.2: 52
• derivatives of trigonometric functions: 2.2: 3-36; 2.5: 49-52 (could be exam questions for MVG)

Lärande mål

• describe the definition of the derivative
• evaluate analytically the derivative of a given function
  • from the definition
  • using the derivative rules
• find the derivative of an inverse function if the derivative of a function is known
• find a tanget/normal line to a function in a point
• from a given graph of f(x)
  • identify where is f(x) differentiable
  • draw a graph of f’(x)

Rekommenderade videon

Limits ... and epsilon delta definitions | Essence of calculus, chapter 7

L1 tekniker att hitta derivata

L2 tillämpningar av kedjeregeln och implicit derivata

L3 derivata av komplicerade funktioner: trigonometriska funktioner

Den röda tråden

Föra veckan vi introducerade derivata bägreppet. För att räkna derivata av komplicerade funktioner måste vi förstå vad df/dx betyder och varför är det sant att df/dx = f’(x). Då kan vi börja räkna derivata av sammansätta funktioner på ett naturligt sätt och med en naturlig notation. Och så behöver vi några komplicerade funktioner att tillämpa våra kunskaper på.

Viktig läsning i boken (kapitlar från Adams)

• 2.1 Tangent lines and their slopes (refresh)
• 2.2 The derivative (refresh)
• 2.3 Differentiation rules
• 2.4 the chain rule
• 2.5 derivatives of trigonometric functions
• 2.6 higher order derivatives
• 2.7 using differentials and derivatives
• 2.8 the mean value theorem
• 2.9 implicit differentiation
• 3.1 inverse functions (definition and derivatives of)
• 3.5 the inverse trigonometric functions and their derivatives

Lärandemål

• manipulera komplicerade algebraiska utryck
• räkna derivatan av komplicerade funktioner
• räkna derivatan av implicita funktioner
• bevisa att derivatan (sin x)’ = cos x
• förklara vad differentialer df och dx betyder
• förklara varför är det sant att dx+dx²=dx
• lösa RÖ problem för den aktuella veckan

Relevanta problem

se veckans RÖ: W3 RÖ kedjeregeln och implicit derivata.pdf

Anteckningar

W3 L1 L2 L3 anteckningar.pdf

Viktiga satser

W3 viktiga satser.pdf

L1 derivata av komplicerade funktioner: exp och log

L2 komplicerade limes med ln x, exp x, och polynomer

L3 Approximationer med polynom (Taylor formalia)

Den röda tråden

Vi avrundar derivata av trigonometriska funktioner, deras inverser. Vi introducerar exp och log funktioner, och diskuterar deras egenskaper.  Vi går vidare igenom avancerade tillämpningar av derivata. Tex. vi lär oss räkna ut komplicerade limes. Vi går igenom linjer approximation. Vi lär oss approximera funktioner med polynomer och som potensserier. När vi vet hur man approximerar, tar vi en titt tillbaka på visa speciella gränsvärden. Nästa steg blir att analysera grafer (vi gör det nästa veckan) för efter grafer börjar vi med att räkna ytan under grafer.

Viktig läsning i boken (kapitlar från Adams)

• 3.2 Exponential and Logarithmic Functions
• 3.3 The natural Logarithm and Exponential Functions: TH 1, TH 2, TH3
• 3.4 Growth and Decay; TH6 exp(x)=lim(1+x/n)^n:
• 3.6 Hyperbolic Functions
• 4.1 Related Rates (Example 2)
• 4.3 indeterminate forms (L’Hopital)
• 4.9 linear approximations
• 2.6 higher order derivatives
• 4.10 Taylor polynomials: T12 Taylor’s Theorem, DEF 9 Big-O Notation

Lärandemål

• räkna komplicerade gränsvärde som kräver logaritmering eller L’Hopital regel eller en kombination av dessa
• approximera en funktion med linjer funktion (första grads polynom)
• approximera en funktion med en högre grad polynom
• räkna högre grads derivata
• avgöra kring vilken punkt en polynom approximation fungerar bäst
• välja en bra punkt för Taylor utvecklingen beroende på problemet, tex argumentera kring vilken punk man skall approximera sin(x) om designar en räknare, eller sensor, etc.
• förklara meningen bakom O() notationen
  • kunna avgöra vilken approximation är bättre
  • kunna förhålla sig till notationen utifrån givna praktiska begränsningar, tex att kunna välja den optimala approximationen om flera approximations formler är angivna

Rekomenderade videor

• räknesticka: Basic slide rule theory and use (Part 1): C and D scalesPower Series/Euler's Great Formula | MIT Highlights of Calculus

Rekomenderade länkar

• ”I am profiling my game on low-end Pentium 4 and found out that ~85% of execution time is wasted on calculating sinus, cosinus and square root ... and this seems to be heavily CPU dependent...”:
  https://stackoverflow.com/questions/18662261/fastest-implementation-of-sine-cosine-and-square-root-in-c-doesnt-need-to-b
• fast polynomial approx for trig functions; “When one is coding in the C or Java languages, it is common to use the language's standard math library for calculating sine and cosine. However, for certain applications, the standard library may not be sufficient. For embedded applications, there may not be much memory to store the program.”:
  http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=12&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjl_7zOqO7kAhXLJVAKHarCD9kQFjALegQIBBAC&url=http%3A%2F%2Fwww.krisgarrett.net%2Fupload%2F481408%2Fdocuments%2F9F5ADB2DA8146659.pdf&usg=AOvVaw3hpMI5x2ruxMWj2nnPe8ns
• How does C compute sin() and other math functions?
  https://stackoverflow.com/questions/2284860/how-does-c-compute-sin-and-other-math-functions/2285277
  
  

Relevanta problem

se RÖ ppt för den aktuella vecka:

• W4 RÖ derivata tillämpningar 1.pdf
• W4 RÖ derivata tillämpningar 2.pdf

 L1 derivata av komplicerade funktioner: exp och log

• viktig läsning (3 Transcedental functions):
  • 3.1 Inverse functions
  • 3.2 Exponential and Logarithmic Functions
  • 3.3 The natural Logarithm and Exponential Functions
    • TH 1: d/dx ln x = 1/x
    • TH 2: ln(xy)=lnx + lny etc
    • TH3: exp(x+y)=exp(x)exp(y) etc
  • 3.4 Growth and Decay
    
    • TH6 exp(x)=lim(1+x/n)^n
  • 3.6 Hyperbolic Functions

• derivata av invers funktioner (speciell fall av implicit derivata tekniken tilämpning)
• a^x och log_ax
  • definition
  • egenskaper
• derivata bevis för
  • d/dx e^x = e^x
  • d/dx a^x
  • d/dx ln x
  • d/dx log_a(x)
  • d/dx shx, d/dx ch x

L2 Approximationer med polynom (Taylor formalia, O notationen)

• viktig läsning
  • Rolle's theorem
  • 4.9 linear approximations
  • 2.7 Using differentials and derivatives
    • approximating small changes:
  • 2.8 The mean-value theorem: with  a<c<b
  • 2.6 higher order derivatives
  • 4.10 Taylor polynomials: T12 Taylor’s Theorem, DEF 9 Big-O Notation
• exempel av linjär approximation
• fel analys
• kan man göra bättre än linjär approximation?
• Ja: Taylor utveckling
• att approximera funktioner med polynomer
• Stora O notationen
• dugga 4, problem 5 och 6
• återkoppling till gränsvärden som vi räknade tidigare

L3 komplicerade limes med ln x, exp x, och polynomer & upprepning av viktiga koncept

• viktig läsning
  • 4.3 indeterminite forms: TH3, TH4
  • 3.4 Growth and Decay: TH5 lim x^a e^bx, lim x^a (ln x)^b
• limes: typer genomgång
• L’Hopital genomgång
• komplicerade limes exempel: exp mot polynom, log mot polynom,…

• derivata genomgång, viktiga moment
  
  • "bevis" för derivata regel för produkt och kvot
  • derivata av x^x, x^g(x), f(x)^g(x)
    • med exp(ln(u))=1 trick
    • med implicit derivata teknik; y=x^x, ln y = x ln x

L4 ytterligare derivata tillämpningar

• numerisk lösning av ekvationer (Newton-Raphson)
• att rita och analysera grafer med hjälp av derivata
• sneda asymptoter
• från graf till derivata och tillbaka
  • speciella punkter (KP, RP, SP)
  • optimerings kriterier (f’=0, f’’>0 eller f’’<0)
• deriverbar i hela intervallet utom i en punkt; samma idéer som i situationen: f kontinuerlig i hela intervallet utom i en punk, går det att fixa?
• ex: justera parametrar så att funktionen blir deriverbar i ett intervall, punkt, etc.
• procent ändringar, ”känslighets analys”

L5 tränings tenta

• 8 problem på G nivån + lite extra: tränings tenta 1.pdf (förbättrad version med facit: tränings tenta 1 med facit.pdf )
  
• efter tränings tenta ta gärna era tentor och prata med lärarna under övnings pass i EG salar

Rekommenderade videon (med bra animationer)

Implicit differentiation, what's going on here? | Essence of calculus, chapter 6 (starkt rekomenderas)

Visualizing the chain rule and product rule | Essence of calculus, chapter 4 (kedjeregel diskussion börjar från 8:40)

Resten av videon (om ni har tid) är ocskå ok (vanlinga föreläsningar)

Derivata del 14 - implicit derivering, introduktion

7. Implicit derivering

Ma5 Implicit derivering

Rolle's teorem bevis

• Rolle’s Theorem Proof

L1 Riemann integral ideen

Viktig läsning:

• AD/5.2 Areas as limits of sums
• AD/5.3 The definite integral
• AD/5.4 Properties of the definite integral

Relevanta problem

• AD/5.2: P1, P8
• AD/5.3: P1, P4, P10 (express limit as a definite integral), P11, P15
• AD/5.4: P1, P2, P3, P6, P7, P17
• AD/5.5: P1, P3, P5, P4, P9, P11, P13, P49, P39, P40, P41, P42, P47 (tips: räkna derivatan av höger och vänster sidan)

Lärandemål

• förklara vad Riemann integral betyder
• förklara ordningen mellan olika summor som används att approximera integralen
• definiera villkor för att integralen skall finnas

Rekommenderade videor

• The Essence of Calculus, Chapter 1
• What does area have to do with slope? | Essence of calculus, chapter 9

L2 integrations tekniker

Viktig läsning:

• AD/5 Integration
  
  • AD/5.5 The fundamental theorem of calculus
  • AD/5.6 The method of substitution

• AD/6 Techniques of integration

  • AD/6.1 Integration by parts
  • AD/6.2 Integrals of rational functions
  • AD/6.3 inverse substitutions
  • AD/6.4 other methods of evaluating integrals
  • AD/6.6 The trapezoid and midpoint rules
  • AD/6.7 Simpson’s rule

Relevanta problem

• partiell integration: 6.1.1, 6.1.2, 6.1.5, 6.1.31, 6.1.32
• rationella funktioner: 6.2.12, 6.2.22
• substitutions tekniker: 6.3.1, 6.3.3, 6.3.9, 6.3.16, 6.3.24

Lärandemål

• beräkna integraler analytiskt och numeriskt
• föreslå substitutioner för enklare integraler
• för en angiven substitution utföra analytiska steg som följer
• kunna jämföra noggrannhet av olika numeriska integrations tekniker 

Rekommenderade videon

Basic Integration... How? (NancyPi) (intro, men kanske lite för enkelt)

How to Integrate Using U-Substitution (NancyPi) (variable byte)

Integration by Parts... How? (NancyPi) (goda exempel/råd för partielintegration)

integral av 1/sinx

L3 och L4 Tillämpningar av integraler: längder av kurvor i 2D, ytor i 2D

Viktig läsning:

• AD/5.7 Areas of plan region
• AD/7.3 Arc Length and Surface Area
• AD/7.4 Mass, Moments, and Centre of Mass
• AD/7.5 Centroids

Relevanta problem

• längder av kurvor: AD/7.3.1, 7.3.2, 7.3.7, 7.3.8
• enkla ytor: AD/5.7.1, 5.7.2, 5.7.3, 5.7.4
• komplicerade ytor: AD/5.7.17, 5.7.18
• centrum av massan med varierande täthet: AD/7.4.1, 7.4.2
• centrum av massan med konstant täthet: AD/7.5.1, 7.5.2, 7.5.4, 7.5.13, 7.5.14

Lärandemål

• kunna tillämpa integralberäkningar på ytor i 2D
• kunna tillämpa integralberäkningar på längder av kurvor i 2D
• kunna tillämpa integralberäkningar på centrum av massan

L1 enkla differentiella ekvationer

Viktig läsning:

• AD/18.1 Classifying differential equations
• AD/7.9 First order differential equations
• AD/18.4 Second order differential equations
• AD/18.5 Linear differential equations with constant coefficients
• AD/18.6 Non-homogeneous linear equations
• AD/3.7 Second-order linear DEs with constant coefficients

Relevanta problem

• AD/18.1: 1-10 (beskriva DE: ordningen, linjär/icke linjär, etc)
• AD/18.1:11-12 (verifiera lösningar, är summan av lösningar en lösning?)
• AD/18.1.13 (den harmoniska oscillatorn)
• AD/18.1.14 (hyperboliska funktioner)
• AD/18.1.16 (den karakteristiska ekvationen med reella lösningar)
• AD/18.1.17 (driven harmonisk oscillatorn + att kombinera homogen och partikulär lösning)
• AD/18.1.18 (att kombinera homogen och partikulär lösning)
• AD/3.7:1-12 (general solution to the second order DE)
• AD/3.7:13-15 (initial value problems, second order DE)
• AD/3.7:26-28 (harmonic oscialltor)
• AD/7.9:1-10 (separable equations) <= detta är viktig, gör så många ni kan för att utveckla känslan
• AD/7.9:11-16 (metod II, generellt lösning – fria konstanter)
• AD/7.9:17-20 (metod II, lösning med begynnelsevillkor – inga fria konstanter)

Lärandemål: Studenter skall kunna lösa första grads differentiella ekvationer analytiskt när det är möjligt. För det andra och högre grads linjära ekvationer med konstanta koefficienter, studenter förväntas kunna diskutera antal och typer av möjliga lösningar. För andra grads ekvationer, man skall ha den operativa kunskapen att lösa vilken problem som helst, med eller utan begynnelse villkor. För andra grads ekvationer med icke konstanta koefficienter det enda man skall kunna är att känna till och använda den allmänna principen att linjär kombination av lösningar är också en lösning, och att det finns två oberoende lösningar. Sammanlagt, lärandemål är:

• att kunna lösa enklare differentiella ekvationer
• Att kunna känna igen separabla diff ekvationer av första grad och omvandla till integral problem
• Att lösa (de som kan fixas på detta sätt) första grads DE med icke konstant koefficienter
• Att lösa vilken som helst andra grads DE med konstanta koefficienter

L2 Komplexa tal och tillämpningar

Viktig läsning:

• grunder: AD/Appendix I
  
  • definition: z=x+iy
  • algebra: z1*z2 och z1/z2,
  • tekniker: Re, Im, z och z*, Abs(z)
• Euler formula "bevis": AD/Appendix II/The exponential function
• den polära formen av ett komplex tal: AD/Appendix I
• tillämpningar till DE
• samband mellan trigonometriska och hyperboliska funktioner: AD/9 Sequences, series, and powers/Other Maclaurin and Taylor series
• algebraiska ekvationer med komplexa tal: hitta högre rötter, hitta andra roten, omvandla mellan x+iy och den polära formen:  AD/Appendix I/Roots of complex numbers

Relevanta problem

• AD/Appendix I: 1-4; 5-12;16,17,24,25,40,41,51,52
• AD/Appendix II: 17, 19, 21, 23*, 27-31

Lärandemål

• Komplexa tal algebran är ett viktigt verktyg som används att lösa linjära differentiella ekvationer. Lärande mål är att bemästra alla praktiska tekniker att hantera komplexa tal i en differential ekvation kontext.

Rekommenderade videon

Eulers formula bevis 1

Eulers formula bevis 2 (Taylor Series)

Eulers formula bevis 3 (A cool proof)

L3 gamla tentor genomgång

Den röda tråden: vi diskuterar typiska fel under tentamen, saker som man skall försöka göra, eller försöka undvika.

• tentor är olika men alla har samma teman
• för betyg 3:
  • kontinuitet
  • ”derivarberhet”
  • gränsvärdet: L’Hopital
  • enkla integraler
  • komplexa tal
  • att derivera med kedjeregel
  • enkla implicit derivatan (arctan, arccot, arccos)
  • differentialer (du,dx)
  • Taylor utveckling
  • enkla differentiella ekvationer
• för betyg 4
  • svårare integraler
  • svårare gränsvärdet
  • tangenten in en punkt av en graf
  • medel komplicerade differentiella ekvationer: separations teknik
  • enkla ytor med roterande grafer
• för betyg 5
  
  • linjära DE grad 2 med konstanta koefficener
  • andra komplexa problem

Lärandemål:

• Ta del av på vilket sätt man skall svara under tentamen
  • Ha en uppfattning av hur ett ”bra” svar ser ut
  • Ha en uppfattning av hur ett ”dålig” svar ser ut
• Att kunna förklara examinations modell (portfolio based assessment)
• Känna till uppdelning i separata moduler uppdelade i olika svårighetsgrader
  • Specificera typiska ämne som krävs för betyg 3
  • Specificera typiska ämne som krävs för betyg 4
  • Specificera typiska ämne som krävs för betyg 5

Typiska felen studenter gör på tentan: typiska fel på tentan.pdf

L1 Tillämpningar av integraler: ytor och volymer i 3D som definieras med roterande funktioner

Viktig läsning:

• AD/7.1 Volumes by slicing – solids of revolution
• AD/7.2 More volumes by slicing
• AD/7.3 Arc length and surface area
  
  • Areas of Surfaces of Revolution

Relevanta problem

• volumes by slicing: AD/7.1.1, 7.1.2, 7.2.1, 7.2.2
• volumes by rotating graph: AD/7.3.22, 7.3.23,7.3.26

Lärandemål

• kunna räkna längder av kurvor (i 2D), ytor (3D) och volymer (3D) av geometriska objekt som definieras med en graf f(x) som roteras, eller en yta A(x) som förflyttas
• för en given geometrisk objekt, kunna identifiera grafen som beskriver objektet

L2 övnings tenta

vi tränar för att bemöta den riktiga tentamen

• tesen: tränings tenta 2.pdf
• facit: tränings tenta 2 - bara facit.pdf

L3 sammantagning

Förankring av visa viktiga tekniker/kunskaper:

• integraler med svårare variabel byte
• TU i oändligheten
• ytan av en roterande graf
• sh’’(x)-sh(x)=0, y’’(x)-y(x)=0, y’’(x)-4y(x)=0
• ∫dx/x=ln⁡|x|+c; absolut belopp!
• TU i oändligheten
  • betydelsen: rita grafen av f(x) och approximationen och jämför i oändligheten
  • när skall man använda den?
  • finns det fall när det går inte att använda den?
• volymer och ytor med roterande grafer: mysterium av dS
  • varför dS=2*Pi*f(x)*dh och inte dS=2*Pi*f(x)*dx?
• några djupa analys frågor
• om villkor för deriverbart
  • från första principer (definitionen av derivatan)
  • kontinuitet + existens av gränsvärdet av f'(x)

Lärandemål

• Förklara kursens upplägg och idén bakom kursen (förbereda för framtiden: yrkesliv vs fortsätta studier)
• Förklara varför olika ämne i kursen diskuterades i en vis ordning
• Förklara hur man blir betygsätt
• Hur den skriftliga tentamen rättas
• Hur dugga bonus poäng kombineras med tentamenspoäng

Viktig läsning: W8 samantagning.pdf.