MVE615 Matematisk analys i flera variabler
Hej och välkommen till kursen!
På denna sida finns programmet för kursen: föreläsningar , demonstrationer/övningar och duggor . Övriga uppgifter, såsom t.ex. kursmål, lärare, kurslitteratur och examination, finns i ett separat kurs-PM .
Här är andra omtentan med lösningar: Omtenta2_231007.pdf, Lösningar_Omtenta2_231007.pdf
Här är första omtentan med lösningar: Omtenta1_230825.pdf, Lösningar_Omtenta1_230825.pdf
Här är ordinarie tentan med lösningar: Tentamen_230531.pdf, Lösningar_Tentamen_230531.pdf
Program
Kursens schema finns i TimeEdit.
Föreläsningar
På föreläsningarna kommer den centrala teorin att gås igenom och centrala exempel att räknas igenom. Det finns ingen möjlighet att täcka allt på föreläsningarna, så det är viktigt att komplettera dessa med läsning i kursboken. Avsnittsnumren nedan hänvisar till 7:e, 8:e och 9:e upplagan; 10:e upplagans avsnittsnummer står inom parentes.
| Dag | Tid | Avsnitt och Innehåll |
|---|---|---|
| 20/3 |
Kl. 08:00-09:45 |
12.1–12.2 (13.1-13.2) Funktioner av flera variabler. Grafer till funktioner av två variabler. Nivåkurvor och nivåytor av funktioner av två resp. tre variabler. Gränsvärden (MATLAB .fig-filer) och kontinuitet i flera variabler. |
| 22/3 | Kl. 10:00-11:45 |
12.3-12.5 (13.3-13.5) Partiella derivator. Tangentplan (.fig-fil) och normallinjer till funktionsgrafer. Högre ordningens derivator. Laplace ekvation och harmoniska funktioner. Kedjeregeln i flera variabler |
| 24/3 | Kl. 08:00-09:45 |
12.5, 12.7 (13.5, 13.7) Kedjeregeln i flera variabler (forts.) Gradienter och deras geometriska tolkning. Riktningsderivator och deras relation till gradienter. |
| 27/3 | Kl. 08:00-09:45 |
12.6, 12.9 (13.6, 13.9) Linjära approximationer av funktioner av två variabler. Differentierbarhet i flera variabler. Funktionalmatriser och Jacobianer. Taylorutvecklingar av ordning ett. |
| 29/3 | Kl. 10:00-11:45 |
13.1 (14.1) Globala och lokala extrempunkter och -värden i flera variabler. Sadelpunkter. Andraderivatatestet i flera variabler. Genväg i fallet n=2 |
| 31/3 | Kl. 08:00-09:45 |
13.2 (14.2) Optimering på kompakta områden |
| 12/4 | Kl. 15:15-17:00 |
13.3 (14.3) Optimering med ett eller flera bivillkor (.fig-fil). Lagrange-funktionen och Lagrange-multiplikatorer i planet och rummet. |
| 14/4 | Kl. 08:00-09:45 |
14.1-14.2 (15.1-15.2) Dubbelintegraler. Partitioner och Riemann-summor (animerad .gif-fil) för rektangulära områden. Utvidgning med 0 för icke-rektangulära områden. Elementära egenskaper. Itererad integrering (animerad .gif-fil). |
| 17/4 | Kl. 10:00-11:45 |
14.3-14.4 (15.3-15.4) Generaliserade dubbelintegraler. Variabelbyten i enkel- och dubbelintegraler. Områden med cirkulär symmetri och polära koordinater. |
| 19/4 | Kl. 08:00-09:45 |
14.5 (15.5) Trippelintegraler och deras användning vid mass- och volymberäkningar. |
| 21/4 | Kl. 08:00-09:45 |
10.6, 14.6-14.7 (11.6, 15.6-15.7) Variabelbyten för trippelintegraler. Cylindriska- och sfäriska koordinater och deras egenskaper. Arean av en yta. |
| 24/4 | Kl. 10:00-11:45 |
11.1, 11.3 (12.1, 12.3) Vektorvärda funktioner av en variabel. Parametriseringar av kurvor och tillämpningar på längdberäkningar. |
| 26/4 | Kl. 10:00-11:45 |
15.1-15.3 (16.1-16.3) Skalära fält och vektorfält. Visualisering av vektorfält; fältlinjer. Konservativa vektorfält och potentialer. Linjeintegraler av skalära fält. |
| 28/5 | Kl. 08:00-09:45 |
15.4 (16.4) Linjeintegraler av vektorfält och deras fysikaliska tolkning. Ekvivalenta karakteriseringar av konservativa vektorfält. Enkelt sammanhängande områden och tillräckliga villkor för existens av potentialfunktioner. |
| 3/5 | Kl. 10:00-11:45 |
15.5 (16.5) Parametriserade ytor och ytintegraler. Mass- och areaberäkningar. (Exempelyta med en .fig-fil) |
| 5/5 | Kl. 08:00-09:45 |
15.6, 16.1 (16.6, 17.1) Enhetsnormalvektorfält och orienterbara ytor. Flödesintegraler och deras fysikaliska tolkning. Divergensen av ett vektorfält. |
| 8/5 | Kl. 10:00-11:45 |
16.1-16.2 (17.1-17.2) Rotationen av ett vektorfält. Beräkningar av divergens och rotation med hjälp av nabla-operatorn. |
| 10/5 | Kl. 08:00-09:45 |
16.3-16.4 (17.3-17.4) Greens sats. Gauss sats (Divergenssatsen) |
| 12/5 | Kl. 08:00-09:45 |
16.5-16.6 (17.5-17.6) Stokes sats. Maxwells ekvationer på differential- och integralform. |
| 15/5 | Kl. 10:00-11:45 |
Repetitionsföreläsning: Differentialkalkyl och optimering |
| 17/5 | Kl. 08:00-09:45 |
Repetitionsföreläsning: Dubbel- och trippelintegraler. Vektoranalys |
| 17/5 | Kl. 10:00-11:45 |
Repetitionsföreläsning: Vektoranalys |
| 22,24,25/5 |
Reserv |
Rekommenderade övningsuppgifter
Avsnittsnumren nedan hänvisar till 7:e, 8:e och 9:e upplagan; 10:e upplagans avsnittsnummer står inom parentes.
| Dag | Demonstration | Självverksamhet |
|---|---|---|
| 20/3 |
10.1: 28, 32, (repetition) 12.1 (13.1): 15, 16, 37, |
10.1: 3, 5, 13, 15, 17, 19, 21, 27, 29 (repetition) 12.1 (13.1): 1, 5, 7, 13, 14, 19, 21, 27, 38, |
| 24/3 |
12.3 (13.3): 9, 11, 21, |
12.3 (13.3): 2, 5, 8, 10, 15, 24, 27, 12.4 (13.4): 2, 5, 11, 15. 12.5 (13.5): 7, 11, 15b, 19, 31, 33. |
| 27/3 |
12.6 (13.6): 20, |
12.6 (13.6): 1, 7 (strunta i differentialen), 19. 12.7 (13.7): 1, 3, 7, 11, 13, 17, 18, 27. 12.9 (13.9): 6 (det räcker att utveckla till och med grad 1) |
| 31/3 |
13.1 (14.1): 11, 22 |
13.1 (14.1): 3, 5, 7, 16 (en punkt räcker), 19, 20 13.2 (14.2): 1, 3, 6, 7, 8, 10, 11. |
| 13/4 | Gamla tentauppgifter | 13.3 (14.3): 1, 4, 6, 7, 13, 16, 22. |
| 14/4 |
14.1 (15.1): 19, 21, |
14.1 (15.1): 13, 14, 18, 14.2 (15.2): 5, 7, 8, 9, 13, 15, 16, 19, 21, 22, 25. |
| 17/4 |
14.3 (15.3): 4, 24, |
14.3 (15.3): 3, 7, 8, 23, 25, 14.4 (15.4): 3, 5, 9, 11, 15, 17, 21, 23, 26, 32, 35(b). |
| 19/4 |
14.5 (15.5): 4, 10, 27. |
14.5 (15.5): 1, 7, 9, 14, 15, 17, 20. |
| 21/4 |
14.6 (15.6): 4, 14. |
14.6 (15.6): 1, 6, 10, 11, 13, 16. |
| 24/4 |
11.1 (12.1): 17, |
11.1 (12.1): 3, 7, |
| 28/4 |
15.2 (16.2): 2, 10 (räcker med potential) |
15.1 (16.1): 3, 5 (skissa bara vektorfältet) 15.2 (16.2): 1, 3, 5, 9 (räcker med potential) 15.3 (16.3): 1, 3, 7, 9. |
| 3/5 |
15.4 (16.4): 8, 9, 16, |
15.4 (16.4): 1, 5, 7, 12, 13, 17, 19, 22, 15.5 (16.5): 3, 4, 7, 13, 15, Vektoranalys: 1, 2, 4, 5. |
| 5/5 |
15.6 (16.6): 4, 7, 9. |
15.6 (16.6): 1, 2, 3, 5, 6. |
| 10/5 | 16.1 (17.1): 8, Vektoranalys: 3 16.4 (17.4): 4, 14. |
16.1 (17.1): 4, 7, 16.3 (17.3): 1, 2, 3, 4, 5, 7, 16.4 (17.4): 1, 3, 5, 8, 9, 12, 13, 17. |
| 12/5 |
16.5 (17.5): 4, 10. |
16.5 (17.5): 1, 2, 3, 5, 6, Vektoranalys: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. |
| 15/5 | Repetition | |
| 22/5 | Reserv |
Frågestunder
Varje läsvecka kommer det att finnas ett frågestundstillfälle. Dessa sköts av två matematikdoktorander och tanken är att ni kan gå dit och ställa frågor om sådant som inte hinns med under föreläsningarna och demonstrationerna (t.ex. om ni har kört fast på en uppgift). Tid och plats för dessa varierar från vecka till vecka, men grundregeln är att Z-studenter alltid ska gå till den sal som står listad först på Timeedit, medan I-studenter ska gå till den som står listad som nummer två.
Duggor
I kursen kommer det att ges möjlighet att utföra sex duggor i en nätbaserad miljö som kallas Möbius Assessment. Dessa är inte obligatoriska men varje helt avklarad dugga ger en bonuspoäng till tentan. Bonusen är giltig under innevarande läsår (tenta 31 maj 2023, omtenta 25 augusti 2023, omtenta oktober(?) 2022).
Tanken med duggorna är att underlätta studierna. Det är tillåtet att ta hjälp av lärare eller andra kursdeltagare för Möbius-duggorna. Det är inte tillåtet att låta någon annan göra duggan åt en, eller att ta hjälp av programvara för att lösa uppgifterna. När du lämnar in duggan intygar du samtidigt att du förstått de svar du lämnat och att du själv kommit fram till dem.
Duggorna kan göras när ni vill inom följande tidsramar:
| Dugga | Tillgänglig under tidsperioden |
|---|---|
| 1 | Fredag 24/3, 08:00 - Torsdag 30/3, 23:59 |
| 2 | Fredag 31/3, 08:00 - Söndag 16/4, 23:59 |
| 3 | Måndag 17/4, 08:00 - Söndag 23/4, 23:59 |
| 4 | Måndag 24/4, 08:00 - Söndag 30/4, 23:59 |
| 5 | Måndag 1/5, 08:00 - Söndag 7/5, 23:59 |
| 6 | Måndag 8/5, 08:00 - Fredag 19/5, 23:59 |
Du kan komma åt duggorna, under de tidsperioder de är tillgängliga, via moduler i Canvas. Där kan du också se vilka duggor du har godkänt resultat på. Instruktioner för duggorna och för att använda Möbius finns i uppgifterna för de individuella duggorna.
Gamla tentor
Tidigare tentor som har konstruerats av föreläsaren: (andra tentor återfinns i separat kurs-PM)
2020:
Ordinarie tenta, Lösningar
Omtenta 1, Lösningar
Omtenta 2, Lösningar Fel på 1(b) (saknas en faktor 1/3) och 2(a) (räknar på z istället för z^2 vilket ger fel plan)
2021:
Ordinarie tenta, Lösningar
Omtenta 1, Lösningar
Omtenta 2, Lösningar
2022:
Ordinarie tenta, Lösningar
Omtenta 1, Lösningar
Omtenta 2, Lösningar
Kurssammanfattning:
| Datum | Information | Sista inlämningsdatum |
|---|---|---|