2/9	Komplexa tal. Modell: utvidgning till mängden av de reella talen. Kartesisk form. Konjugat, belopp, real- och imaginärdel. Triangelolikheten. Uppgifter 1:25 och 1:26. Polär form. Belopp och argument. Övergångar mellan de två formerna. Argumentets flertydighet. Principalargument.
3/9	Komplexa funktioner: polynom, exponentialfunktionen, trigonometriska funktioner, hyperboliska funktioner, Möbiusavbildningar. Rötter och den komplexa logaritmen - flertydiga funktioner. Godtyckliga potenser av komplexa tal. Antal värden. Exp, sin, cos av z:s komplexkonjugat. Kongruenser i planet (translation, rotation, spegling), uttryckta i operationer med komplexa tal. Nödvändigt och tillräckligt villkor för att triangeln med hörn i 0, z, w är liksidig. Mängden \|z+2\|+\|z-2\|=5 är en ellips. Oändligheten. Den stereografiska projektionen.
4/9	Grundläggande topologiska begrepp: inre punkter, yttre pkter, randpkter, hopningspunkter, öppna och slutna mängder, sammanhängamde och bågvis sammanhängande mängder. Områden: öppna och sammanhängande. Gränsvärden och kontinuitet för funktioner av komplexa variabler. Deriverbarhet. Definition av holomorf (analytisk) funktion. Cauchy-Riemanns ekvationer: nödvändigt villkor för deriverbarhet. Cauchy-Riemanns ekvationer + kravet att f: s real- och imaginärdel är kontinuerliga och har kontinuerliga partiella derivator av ordning 1: tillräckligt villkor för f:s deriverbarhet. Funktionen f(z) = z:s komplexkonjugat är inte deriverbar någonstans.
5/9	Derivatorna av exponentialfunktionen, sinus och cosinus. Harmoniska funktioner. Harmoniskt konjugat. Rekonstruktion av en holomorf funktion givet dess realdel, exempel av typ 2:25d. En funktion vars derivata är 0 i ett område är konstant i området. En reellvärd holomorf funktion måste vara konstant. Bilden av andra kvadranten under avbildningen $LaTeX: f\left(z\right)=z^2$ .
9/9	Mer om den komplexa logaritmen och potenser med icke-hel exponent. Val av entydig gren. Principallogaritmen. Potenser som mängder av tal. Exempel; $LaTeX: i^{\frac{1}{4}}$ ; . Funktionen exp(z) som avbildning mellan mängder. Logaritmen (en gren av) som avbildning mellan mängder. Snitt mellan 0 och oändligheten. Möbiusavbildningar - uppdelning i enklare avbildningar, fixpunkter, derivata (uppgift 2:15). Möbiusavbildningar avbildar "cirklar" på "cirklar". Stereografiska projektionen: räta linjer som cirklar genom nordpolen (oändligheten). Exempel på Möbiusavbildning som tar enhetscirkeln på enhetscirkeln.
10/9	Definition av isogonala och konforma avbildningar, exempel. Bevis att holomorfa funktioner med nollskild derivata är konforma avbildningar. Bevis att Möbiusavbildningar avbildar "cirklar" på "cirklar". Att hitta en Möbiusavbildning som tar tre givna punkter på tre givna punkter. Flöden i övre halvplanet och i öhp med ett hinder längs Im-axeln. Konform avbildning av mängden {z : Im z > 0, z ej lika med iy för 0<y<=1} på öhp.
11/9	Funktionen sin z som avbildning mellan mängder: ett halvband som avbildas på första kvadranten. Avbildning av planet, uppskuret längs realaxeln utanför (-1,1), på övre halvplanet. Riemannytan för logaritmen. Kurvintegraler. Greens sats. Cauchys sats med bevis (formulering av Cauchy-Goursats sats). Formulering av Moreras sats.
13/9	Kurvintegraler - oberoende av parametriseringen. Räkneexempel utan och med Cauchys sats. ML-uppskattningen. Homotopi. Primitiva funktioner. Cauchy-Riemanns ekvationer på polär form. Exempel: integral av 1/(z-a) längs olika cirklar och områden. Idén att skära upp mellan två konturer. Logaritmens entydiga grenar är holomorfa.
16/9	Gäller logaritm- och potenslagarna? Exempel då de gäller som mängder och då det endast gäller inklusion. Inversa trigonometriska funktioner, exempel: sin z = 2. Cauchys integralformel - formulering. Exempel: integral av $LaTeX: \frac{1}{z^2+1}$ över cirkeln {\|z\|=2}; integral av $LaTeX: \frac{1}{1+\sin^2x}$ från 0 till $LaTeX: \pi$ . Deformation av kontur.
17/9	Cauchys integralformel - bevis. Cauchys formler för derivatorna - formulering. Liouvilles sats (med bevis). Algebrans fundamentalsats (med bevis). Exempel: integral över enhetscirkeln av sin z/z; integral över cirkeln \|z\|=r (r ej lika med 3) av exp z/(z(z-3)) för olika r; partialbråksuppdelning som ett sätt att förenkla funktionen.
18/9	Cauchys formler för derivatorna - bevis för första derivatan. För derivator av högre ordning: induktivt, man bevisar samtidigt att derivator av högre ordning existerar. Integralerna av $LaTeX: \left(z-z_0\right)^m$ längs cirkeln med medelpunkt med radie r för heltal m. Reella integraler: $LaTeX: \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\left(x^2+1\right)^2}$ och $LaTeX: \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{x^2+1}dx$ . Derivatan av (en gren av) logaritmen m.h.a. $LaTeX: f^{\prime}=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}$ .
20/9	Primitiva funktioner. Moreras sats. Avbilda en åttondel av enhetsskivan på öhp. Integralerna $LaTeX: \int_0^{\infty}\cos x^2dx,\int_0^{\infty}\sin x^2dx$ (Fresnel).
23/9	Enkelt sammanhängande områden. Harmoniska funktioner, bevis av existens av harmoniskt konjugat i enkelt sammanhängande område. Medelvärdessatsen och maximumprincipen för harmoniska funktioner - stark form.
24/9	Maximumprincipen för harmoniska funktioner - svag form. Maximummodulusprincipen för holomorfa funktioner. Idén att utveckla en holomorf funktion i potensserie m.h.a. Cauchys integralformel och den geometriska serien. Problem: konvergens? termvis integrering?
25/9	Funktionsföljder och -serier. Likformig konvergens. Villkor för att få derivera/integrera en funktionsserie termvis. Potensserier. Konvergensradie - formler.
27/9	Gauss integral. Om en funktionsföljd konvergerar likformigt, så konvergerar även följden av dess realdelar likformigt. Cauchys uppskattningar för en holomorf funktions derivator. Multiplikation och division av potensserier, exempel. 7:30, 8:1, 8:5.
30/9	Potensserier är holomorfa innanför sitt konvergensområde och kan deriveras termvis. Entydighet. Satsen om Taylorutveckling: formulering. Potensserierna representerar funktionen lokalt. Exempel: potensserieutveckling av f(z)=1/(1-z) i olika cirkelskivor.
1/10	8:23, 8:25a, 8:32, 8:33. Laurentutvecklingar (med bevis).
2/10	Multiplicitet av nollställen till holomorfa funktioner, exempel. Analytiska logaritmer (av holomorf funktion i ett område, där den är nollskild). Definition av residy. Exempel på hur man ibland kan bestämma residyer "handgripligen", utan formler.
4/10	Satsen om en holomorf funktions Taylorutveckling (bevis). Entydigheten. Klassifikation av nollställena till holomorfa funktioner. Identitetsprincipen.
8/10	Taylor- och Laurentutvecklingar - sammanställning; konvergensområden, konvergenstyp, formler för koefficienterna. Isolerade singulära punkter. Klassificering av isolerade singulariteter. Exempel.
9/10	Residysatsen. Beräkning av residyer i enkelpoler och multipla poler. Exempel. Integral av reell rationell funktion med tillslutande halvcirkel i öhp alternativt nhp. Argumentprincipen (OBS! Boken räcker inte!). Nyquistdiagram: idéskiss.
14/10	Nyquistdiagram: lokalisering av nollställena till $LaTeX: P\left(z\right)=z^5+z^4+4z^3+8z^2+15$ och . Rouchés sats. Exempel: nollställen till polynom innanför enhetscirkeln.
15/10	Algebrans fundamentalsats revisited. Isolerade singulariteter: Casorati-Weierstrass sats. Fourierserier och Fouriertransform - idéer och grundegenskaper.
16/10	Något om distributionsteori, Diraks deltafunktion och fundamentallösningar. Tillämpning av residykalkyl för beräkning av vissa fuktioners Fouriertransform. Tillämpning av Fouriertransformens egenskaper för att reducera till enklare fall.
18/10	Tillämpning av Cauchys sats för beräkning av Fouriertransformen till funktionen $LaTeX: e^{-\frac{x^2}{2}}$ . Funktioner av exponentialtyp. Laplacetransform - definition och grundegenskaper. Övning Laplace 5. Exempel: $LaTeX: u^{\prime}-u=\theta\left(t\right)-\theta\left(t-1\right),u\left(0\right)=1.$
21/10	Laplacetransform av faltning. Z-transform. Z-transform av shift och faltning. Exempel: en differensekvation. Rouchés sats: exempel med funktioner som inte är polynom.
22/10	Nödvändigt villkor för att en funktion är Laplacetransformen av en funktion av exponentialtyp. Jordans lemma. Ett tillräckligt villkor för att en funktion är Laplacetransformen av en funktion av exponentialtyp (Dragos sats). Repetition: Inventering. Nollställen till holomorfa funktioner. Identitetsprincipen.
23/10	Repetition: Konforma avbildningar (Möbiusavbildningar, exponentialfunktionen, sinus). 20061025: 4FNy. Reella integraler som beräknas m.h.a. Cauchys integralformler och residysatsen. Poissonkärnan.
25/10	Gamla tentamensuppgifter.