L1 bakgrund/mängder

L3 bakgrund/funktioner

L1 gränsvärdet: grunder

L3 derivata grunder

Limits, L'Hopital's rule, and epsilon delta definitions | Essence of calculus, chapter 7

L3 derivata av komplicerade funktioner: trigonometriska funktioner

L3 Approximationer med polynom och potenser

Power Series/Euler's Great Formula | MIT Highlights of Calculus

L2 ytterligare derivata tillämpningar

L3 Riemann integral

• AD/5.2 Areas as limits of sums
• AD/5.3 The definite integral
• AD/5.4 Properties of the definite integral
• AD/5.5 The fundamental theorem of calculus
• AD/5.6 The method of substitution
• AD/5.7 Areas of plan regions

Relevanta problem

• AD/5.2: P1, P8
• AD/5.3: P1, P4, P10 (express limit as a definite integral), P11, P15
• AD/5.4: P1, P2, P3, P6, P7, P17
• AD/5.5: P1, P3, P5, P4, P9, P11, P13, P49, P39, P40, P41, P42, P47 (tips: räkna derivatan av höger och vänster sidan)

Lärandemål

• förklara vad Riemann integral betyder
• förklara ordningen mellan olika summor som används att approximera integralen
• definiera villkor för att integralen skall finnas

Rekommenderade videor

• The Essence of Calculus, Chapter 1
• What does area have to do with slope? | Essence of calculus, chapter 9

L1 integrations tekniker

Viktig läsning:

• AD/5 Integration
  
  • AD/5.5 The fundamental theorem of calculus
  • AD/5.6 The method of substitution

• AD/6 Techniques of integration

  • AD/6.1 Integration by parts
  • AD/6.2 Integrals of rational functions
  • AD/6.3 inverse substitutions
  • AD/6.4 other methods of evaluating integrals
  • AD/6.6 The trapezoid and midpoint rules
  • AD/6.7 Simpson’s rule

Relevanta problem

• partiell integration: 6.1.1, 6.1.2, 6.1.5, 6.1.31, 6.1.32
• rationella funktioner: 6.2.12, 6.2.22
• substitutions tekniker: 6.3.1, 6.3.3, 6.3.9, 6.3.16, 6.3.24

Lärandemål

• beräkna integraler analytiskt och numeriskt
• föreslå substitutioner för enklare integraler
• för en angiven substitution utföra analytiska steg som följer
• kunna jämföra noggrannhet av olika numeriska integrations tekniker 

Rekommenderade videon

Basic Integration... How? (NancyPi) (intro, men kanske lite för enkelt)

How to Integrate Using U-Substitution (NancyPi) (variable byte)

Integration by Parts... How? (NancyPi) (goda exempel/råd för partielintegration)

integral av 1/sinx

L2 Tillämpningar av integraler: längder av kurvor i 2D, ytor i 2D

Viktig läsning:

• AD/5.7 Areas of plan region
• AD/7.3 Arc Length and Surface Area
• AD/7.4 Mass, Moments, and Centre of Mass
• AD/7.5 Centroids

Relevanta problem

• längder av kurvor: AD/7.3.1, 7.3.2, 7.3.7, 7.3.8
• enkla ytor: AD/5.7.1, 5.7.2, 5.7.3, 5.7.4
• komplicerade ytor: AD/5.7.17, 5.7.18
• centrum av massan med varierande täthet: AD/7.4.1, 7.4.2
• centrum av massan med konstant täthet: AD/7.5.1, 7.5.2, 7.5.4, 7.5.13, 7.5.14

Lärandemål

• kunna tillämpa integralberäkningar på ytor i 2D
• kunna tillämpa integralberäkningar på längder av kurvor i 2D
• kunna tillämpa integralberäkningar på centrum av massan

L3 Tillämpningar av integraler: ytor och volymer i 3D som definieras med roterande funktioner

Viktig läsning:

• AD/7.1 Volumes by slicing – solids of revolution
• AD/7.2 More volumes by slicing
• AD/7.3 Arc length and surface area
  
  • Areas of Surfaces of Revolution

Relevanta problem

• volumes by slicing: AD/7.1.1, 7.1.2, 7.2.1, 7.2.2
• volumes by rotating graph: AD/7.3.22, 7.3.23,7.3.26

Lärandemål

• kunna räkna längder av kurvor (i 2D), ytor (3D) och volymer (3D) av geometriska objekt som definieras med en graf f(x) som roteras, eller en yta A(x) som förflyttas
• för en given geometrisk objekt, kunna identifiera grafen som beskriver objektet

L1 enkla differentiella ekvationer

Viktig läsning:

• AD/18.1 Classifying differential equations
• AD/7.9 First order differential equations
• AD/18.4 Second order differential equations
• AD/18.5 Linear differential equations with constant coefficients
• AD/18.6 Non-homogeneous linear equations
• AD/3.7 Second-order linear DEs with constant coefficients

Relevanta problem

• AD/18.1: 1-10 (beskriva DE: ordningen, linjär/icke linjär, etc)
• AD/18.1:11-12 (verifiera lösningar, är summan av lösningar en lösning?)
• AD/18.1.13 (den harmoniska oscillatorn)
• AD/18.1.14 (hyperboliska funktioner)
• AD/18.1.16 (den karakteristiska ekvationen med reella lösningar)
• AD/18.1.17 (driven harmonisk oscillatorn + att kombinera homogen och partikulär lösning)
• AD/18.1.18 (att kombinera homogen och partikulär lösning)
• AD/3.7:1-12 (general solution to the second order DE)
• AD/3.7:13-15 (initial value problems, second order DE)
• AD/3.7:26-28 (harmonic oscialltor)
• AD/7.9:1-10 (separable equations) <= detta är viktig, gör så många ni kan för att utveckla känslan
• AD/7.9:11-16 (metod II, generellt lösning – fria konstanter)
• AD/7.9:17-20 (metod II, lösning med begynnelsevillkor – inga fria konstanter)

Lärandemål: Studenter skall kunna lösa första grads differentiella ekvationer analytiskt när det är möjligt. För det andra och högre grads linjära ekvationer med konstanta koefficienter, studenter förväntas kunna diskutera antal och typer av möjliga lösningar. För andra grads ekvationer, man skall ha den operativa kunskapen att lösa vilken problem som helst, med eller utan begynnelse villkor. För andra grads ekvationer med icke konstanta koefficienter det enda man skall kunna är att känna till och använda den allmänna principen att linjär kombination av lösningar är också en lösning, och att det finns två oberoende lösningar. Sammanlagt, lärandemål är:

• att kunna lösa enklare differentiella ekvationer
• Att kunna känna igen separabla diff ekvationer av första grad och omvandla till integral problem
• Att lösa (de som kan fixas på detta sätt) första grads DE med icke konstant koefficienter
• Att lösa vilken som helst andra grads DE med konstanta koefficienter

L2 Komplexa tal och tillämpningar

Viktig läsning:

• grunder: AD/Appendix I
  
  • definition: z=x+iy
  • algebra: z1*z2 och z1/z2,
  • tekniker: Re, Im, z och z*, Abs(z)
• Euler formula "bevis": AD/Appendix II/The exponential function
• den polära formen av ett komplex tal: AD/Appendix I
• tillämpningar till DE
• samband mellan trigonometriska och hyperboliska funktioner: AD/9 Sequences, series, and powers/Other Maclaurin and Taylor series
• algebraiska ekvationer med komplexa tal: hitta högre rötter, hitta andra roten, omvandla mellan x+iy och den polära formen:  AD/Appendix I/Roots of complex numbers

Relevanta problem

• AD/Appendix I: 1-4; 5-12;16,17,24,25,40,41,51,52
• AD/Appendix II: 17, 19, 21, 23*, 27-31

Lärandemål

• Komplexa tal algebran är ett viktigt verktyg som används att lösa linjära differentiella ekvationer. Lärande mål är att bemästra alla praktiska tekniker att hantera komplexa tal i en differential ekvation kontext.

Rekommenderade videon

Eulers formula bevis 1

Eulers formula bevis 2 (Taylor Series)

Eulers formula bevis 3 (A cool proof)

L3 tentamen genomgång

• tentor är olika men alla har samma teman
• för betyg 3:
  • kontinuitet
  • ”derivarberhet”
  • gränsvärdet: L’Hopital
  • enkla integraler
  • komplexa tal
  • att derivera med kedjeregel
  • enkla implicit derivatan (arctan, arccot, arccos)
  • differentialer (du,dx)
  • Taylor utveckling
  • enkla differentiella ekvationer
• för betyg 4
  • svårare integraler
  • svårare gränsvärdet
  • tangenten in en punkt av en graf
  • medel komplicerade differentiella ekvationer: separations teknik
  • enkla ytor med roterande grafer
• för betyg 5
  
  • linjära DE grad 2 med konstanta koefficener
  • andra komplexa problem

Lärandemål:

• Ta del av på vilket sätt man skall svara under tentamen
  • Ha en uppfattning av hur ett ”bra” svar ser ut
  • Ha en uppfattning av hur ett ”dålig” svar ser ut
• Att kunna förklara examinations modell (portfolio based assessment)
• Känna till uppdelning i separata moduler uppdelade i olika svårighetsgrader
  • Specificera typiska ämne som krävs för betyg 3
  • Specificera typiska ämne som krävs för betyg 4
  • Specificera typiska ämne som krävs för betyg 5

L1 sammantagning

Förankring av visa viktiga tekniker/kunskaper:

• integraler med svårare variabel byte
• TU i oändligheten
• ytan av en roterande graf
• sh’’(x)-sh(x)=0, y’’(x)-y(x)=0, y’’(x)-4y(x)=0
• ∫dx/x=ln⁡|x|+c; absolut belopp!
• TU i oändligheten
  • betydelsen: rita grafen av f(x) och approximationen och jämför i oändligheten
  • när skall man använda den?
  • finns det fall när det går inte att använda den?
• volymer och ytor med roterande grafer: mysterium av dS
  • varför dS=2*Pi*f(x)*dh och inte dS=2*Pi*f(x)*dx?
• några djupa analys frågor
• om villkor för deriverbart
  • från första principer (definitionen av derivatan)
  • kontinuitet + existens av gränsvärdet av f'(x)

Lärandemål

• Förklara kursens upplägg och idén bakom kursen (förbereda för framtiden: yrkesliv vs fortsätta studier)
• Förklara varför olika ämne i kursen diskuterades i en vis ordning
• Förklara hur man blir betygsätt
• Hur den skriftliga tentamen rättas
• Hur dugga bonus poäng kombineras med tentamenspoäng